Четырехугольник

[PWT]

Добрый день! Помогите, пожалуйста, разобраться.
Если внутри некоторого четырехугольника $ABCD$ взять любые две точки, то отрезок, который их соединяет -- целиком лежит внутри этого четырехугольника. $BE$ -- есть биссектриса угла $B$. Известно, что точка $E$ делит отрезок $AD$ на две равные части. Докажите, что $AB>BC$, если известно, что $\angle A=39^o$, $\angle D=44^o$. В задаче использовать синусы, косинусы, тангенсы -- нельзя.



Я пытался достроить до параллелограмма. Но это как-то почти ничего не дает. Еще был вариант продлить $AB$ и $CD$ до пересечения (пусть будет точка $T$), тогда $AF>FD$, можно найти угол $\angle T=95^o$. Больше пока что идей нет, могли бы подсказать, пожалуйста!

[DeBill]

PWT
Лучше сразу брать быка за рога: кого нам надо сравнить? AB и BC ?
Так давайте отложим на BC отрезок $BC'$, равный AB: если $C$ ближе к B, чем $C'$, то и все.
А это равносильно тому, что угол $CDE$ меньше угла $C'DE$....
Ну вот и поработайте с $ABC'D$ ...

(Оффтоп)

и с $AC'D$ - он прямоугольный! А середина гипотенузы - чей то центр...А острый угол А меньше....И всё вокруг - равнобедренное...

[PWT]

Спасибо, только не понятно -- почему прямоугольный?

-- 07.10.2017, 19:40 --

А, кажется понял. В треугольнике $ABC'$ есть биссектриса $BG$, тк она проведена к основанию равнобедреннного треугольника, она еще медиана и высота. Точка $G$ делит пополам отрезок $AB'$. Значит $EG$ есть медиана треуг $AGE$ и высота, тк точки $B,E,G$ на одной прямой. А значит $AEB'$ равнобедренный треугольник. А значит $AE=EB'$. Тогда в треугольнике $AB'D$ медиана есть половина гипотенузы, а стало быть, он прямоугольный с прямым углом $B'$. А значит вокруг него можно описать окружность с центром в точке $E$. Угол $B'AD=45^o>40^o$ из этого прямоугольного треугольника. Но тогда В' левее С, что странно. Пока что идей нет, понятно, что сведется к сравнению углов, но как?

[DeBill]

PWT в сообщении #1253959 писал(а):

Угол $B'AD=45^o>40^o$ из

КАК? Этот угол - меньше А (т.е., 39)!
Но теперь в равнобедренном EB'D угол Е - внешний для..., так что он меньше 78. И тогда D больше...

[PWT]

Действительно, немного не так, спасибо. $B'AD$ не равен $45^o$.

DeBill в сообщении #1253972 писал(а):

Но теперь в равнобедренном EB'D угол Е - внешний для..., так что он меньше 78. И тогда D больше...

в равнобедренном $EB'D$ внутренний угол $\angle E=180-2x$, где $x$ -- угол при основании. К этому углу будет смежный угол $AEB'=2x$, но почему он меньше $78^o$ -- не ясно. Есть только одно предположение -- откуда это число могло появиться $2\cdot 39^o$ -- из треугольника $ABE$, если он был бы равнобедренным. Но нам ведь не известно -- лежит ли точка $B$ на окружности, описанной вокруг $AB'D$ или нет. Пока что у меня тупик...

[DeBill]

PWT
Угол $x$ - часть угла А, так что он меньше 39.

[ewert]

PWT в сообщении #1253908 писал(а):

Если внутри некоторого четырехугольника $ABCD$ взять любые две точки, то отрезок, который их соединяет -- целиком лежит внутри этого четырехугольника.

Это, естественно, неправда.

[grizzly]

ewert в сообщении #1254147 писал(а):

Это, естественно, неправда.

Это, хоть и немного коряво, но всё-таки "дано"

[ewert]

grizzly в сообщении #1254151 писал(а):

Это, хоть и немного коряво, но всё-таки "дано"

Нет, это не "дано". Это было бы "дано", если б было оговорено, что четырёхугольник выпукл. Но тогда утверждение было бы верно просто по определению.

В общем, всё чуть более чем бессмысленно.

[Aritaborian]

Ну так считайте, что в условии так витиевато сказано «дан выпуклый четырехугольник...»