Спасибо за интересную задачу,
zoo!
Честно признаюсь, по пути к решению мне пришлось изрядно взлохматить мозг.
Чтобы формулы были менее громоздкими, условимся обозначать метрику символом
и тем самым записывать расстояние между точками

и

в виде

.
(Разумеется, при этом ни вычитание, ни модуль не вводятся.)
Итак, пусть

-- метрическое пространство,

и

при

.
Рассмотрим точку

, определим последовательность
рекуррентным правилом

для всех
и предположим, что некоторая подпоследовательность

сходится к

.
Покажем, что

.
Введем функцию

, полагая

для всех

.
Благодаря очевидной непрерывности отображения

функция

непрерывна.
Для любого

мы имеем
Таким образом, последовательность чисел

убывает и поэтому сходится.
Поскольку

при

, мы имеем

при

.
В частности,

при

.
С другой стороны,

при

,
а значит,

.
Следовательно,

, так как в случае

мы бы имели
