Золотое правило Ферми для квазинепрерывного спектра

[Viktor92]

Здравствуйте, в одной из статей видел такой метод расчета,меня он как-то смущает.
Пусть квадрат матричного элемента выглядит так

$$\left\lvert V_{k k'} \right\lvert^2=\sum\limits_{q} f(k,k')g(q) \delta_{k',k+q} $$

Волновые вектора $k$ и $q$ принадлежат квазинепрерывному спектру (например электронов и фононов) и рассмотрим одномерный случай.
По золотому правилу Ферми вероятность перехода в единицу времени

$$dW_{k k '}=\frac {2 \pi}{\hbar} \left\lvert V_{k k'} \right\lvert^2 \delta(E_{k'}-E_k) \frac {Ldk'}{2\pi}$$

,где $E_k=E(k)$ закон дисперсии, который нам функционально известен
Вот дальше начинается непонятный момент, мы будем переходить от интегрирования по $k'$ к суммированию, но ведь у нас дельта функции, которые имеют смысл только под интегралом, как функционалы!

$$W_{kk'}=\sum\limits_{k'}\frac {2 \pi}{\hbar} \left\lvert V_{k k'} \right\lvert^2 \delta(E_{k'}-E_k)=\frac {2 \pi}{\hbar}\sum\limits_{k'}\sum\limits_{q}f(k,k')g(q) \delta_{k',k+q} \delta(E_{k'}-E_k) $$

Далее символ Кронекера "подействует " на аргументы под дельтой функцией (что тоже для меня не очень понятно) и заодно перейдём от суммирования по $q$ к интегрированию (здесь все уже понятно, это стандартный подход замены суммы на интеграл)

$$W_{k,k+q}=\frac L \hbar \int f(k,k+q)g(q) \delta(E_{k+q}-E_k) dq$$

Подскажите, правильны ли эти действия с точки зрения математики или быть может физики?

[warlock66613]

Viktor92 в сообщении #1252218 писал(а):

но ведь у нас дельта функции, которые имеют смысл только под интегралом, как функционалы!

Но поскольку на самом деле спектр не непрерывный, то дельта-функцию в данном случае можно считать обычной функцией: $\delta(E_{k'} - E_k) \simeq \delta_{k k'}n(E_k),$ где $n(E)$ — плотность состояний (можете проверить, что такая функция удовлетворяет требованиям, которые предъявляются к дельта-функции).

[Viktor92]

Я попробовал получить это, правильно ли я рассуждаю?

$$\int f(k') \delta (E_k-E_{k'})\frac{Ldk'}{2 \pi}=\sum\limits_{i} \int\limits_{k_i-\epsilon}^{k_i+\epsilon}f(k') \delta (E_k-E_{k'}) \frac{Ldk'}{2 \pi}= \sum_{i} f(k_i) \int\limits_{k_i-\epsilon}^{k_i+\epsilon} \delta (E_{k_i}-E_{k'})\frac{Ldk'}{2 \pi}= $$ $$= \sum_{i} f(k_i) \int \delta (E_{k_i}-E_{k'})\frac{Ldk'}{2 \pi}=\sum\limits_{i}f(k_i) n(E_{k_i})$$

, где $f(k)$ произвольная функция, переобозначив $k_i \to k$, получается такая замена для перехода от интеграла к сумме

$$\delta (E_k-E_{k'})\frac{Ldk'}{2 \pi} \to \delta_{k k'}n(E_{k'})$$

[warlock66613]

Я не понял куда пропала $k$ (без штриха) и откуда она потом опять появилась.

[Viktor92]

warlock66613 в сообщении #1253158 писал(а):

Я не понял куда пропала $k$ (без штриха) и откуда она потом опять появилась.

$k$ было заменено на $k_{i}$ под дельта функцией во втором равенстве, в предположении, что оно имеет дискретные значения. А в конце просто выполнено обратное переобозначение.

[warlock66613]

А, ок. Так-то вроде правильно, но по-моему вся соль — вся главная часть вывода — спряталась в последнее равенство, поэтому возникает вопрос: на основании чего это последнее равенство получилось?

[Viktor92]

warlock66613 в сообщении #1253218 писал(а):

А, ок. Так-то вроде правильно, но по-моему вся соль — вся главная часть вывода — спряталась в последнее равенство, поэтому возникает вопрос: на основании чего это последнее равенство получилось?

Вообще, с математической точки зрения всё это скорее всего совсем не строго, и математики найдут к чему придраться. И сам вывод золотого правила был произведён для непрерывного спектра, а здесь мы его хотим применить к квазинепрерывному (тоже не обосновано), с физической стороны вопроса интуитивно кажется, что это более менее верно.
Если попытаться более аккуратно обосновать равенства выше , то второе равенство, когда $f(k_{i})$ вынесено за интеграл - это применение второй теоремы о среднем для интегралов вида $\int f(x)g(x)dx$, где $f(x)$ должна быть монотонна на промежутке интегрирования, у нас промежуток очень малый $2\epsilon$ и можно считать , что на нём функция монотонна, да и потом осуществляется предельный переход $\epsilon \to 0$

Третье равенство это просто тождество $\int\limits_{k_i -\epsilon}^{k_i+\epsilon}\delta (E_{k_i}-E_{k'})dk'=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta (E_{k_i}-E_{k'})dk'$, ну потому что для интеграла от дельта функции важно только где лежит её носитель.
А плотность состояний по определению $n(E)=\int \delta (E-E(k))\frac {dxdk}{2 \pi}$, что использовано в четвертом равенстве.

[warlock66613]

Viktor92 в сообщении #1253419 писал(а):

А плотность состояний по определению $n(E)=\int \delta (E-E(k))\frac {dxdk}{2 \pi}$

Непонятно (для меня определение плотности состоняий - это $n(E) = dN/dE$), но ок.

Viktor92 в сообщении #1253419 писал(а):

Если попытаться более аккуратно обосновать равенства выше

Мне кажется, так получается даже ещё хуже, чем если не пытаться :-)

[Viktor92]

warlock66613 в сообщении #1253431 писал(а):

Непонятно (для меня определение плотности состоняий - это $n(E) = dN/dE$), но ок.

Это равенство можно получить так: Число состояний $N$ инвариант.

$$N=\int \frac{dxdk}{2\pi}=\int n(E)dE$$

Теперь вставим разложение единицы в первое выражение $\int \delta(E-E(k))d(E(k))=1$ и изменим порядок интегрирования.

$$N=\int (\int (\delta(E-E(k) )\frac{dxdk}{2\pi}) d(E(k))=\int n(E(k))d(E(k))$$

и получим

$$n(E)= \int \delta(E-E(k) )\frac{dxdk}{2\pi}$$