Интегральное уравнение.

[Spook]

Дано диф. уравнение: $-y''=\lambda y$ ,а также н.у.: $y(0)=0,y(\pi)+y'(\pi)=0$.
Необходимо свести это к интегральному уравнению. С чего начать? пробовал через замену $y''(x)=u(x)$, чтобы потом найти $y'(x)$ и $y(x)$, но натыкаюсь на то, что значения производной в граничной точке конкретно не указано. И вообще это диф. уравнение похоже на уравнение Штурма-Лиувилля, правда здесь не надо искать собственных значений. Может за это можно зацепиться?

[kekocaumay]

рассмотрим краевые задачи, содержащие параметр и сведение к интегральным уравнениям
$L[y] = \lambda y$
$V_k (y) = 0$
если $G(x,\xi )$ - функция Грина, то
$y(x) = \lambda \int\limits_a^b {G(x,\xi )y(\xi )d\xi } $[/math]

[Spook]

kekocaumay, функция Грина у нас определяется так :

$$G(x,\xi )=-\frac 1 {\omega}\left\{\begin{array}{1} u_2(x)u_1(t),t\leqslant x\\ u_2(t)u_1(x),x\leqslant t \end{array}\right$$

Как я понял здесь $u_i(x)$ - линейно независимые решения уравнения $y''=0$? Ну пусть это будут например $x$ и просто 1. Только пока не пойму, что нам это дает.

[zoo]

Spook писал(а):

kekocaumay, функция Грина у нас определяется так :

$$G(x,\xi )=-\frac 1 {\omega}\left\{\begin{array}{1} u_2(x)u_1(t),t\leqslant x\\ u_2(t)u_1(x),x\leqslant t \end{array}\right$$

Как я понял здесь $u_i(x)$ - линейно независимые решения уравнения $y''=0$? Ну пусть это будут например $x$ и просто 1. Только пока не пойму, что нам это дает.

Функция Грина определяется так
$G_{xx}(x,y)=\delta(x-y)$
и краевые условия
$G(0,y)=0,\quad G(\pi,y)+G_x(\pi,y)=0$
а интегральное уравнение Вам уже записали

[Spook]

zoo ну у нас в курсе её определили именно так(как у меня). А $\delta(x-y)$ это я полагаю дельта-функция Дирака?
С обобщенными функциями встречался только в электротехнике и преобразованиях Лапласа. Щас займусь изучением. Может еще как нибудь можно решить?

[V.V.]

Для уравнения $(p(x)y')'+q(x)y=0$
функция Грина

$$G(x,s)=\begin{cases} c_1y_1(x),&\text{при $x_0\leqslant x\leqslant s$}\\ c_2y_2(x), & \text{при $s\leqslant x\leqslant x_1$} \end{cases}$$

$c_1$ и $c_2$ можно найти из равенств

$c_1y_1(s)=c_2y_2(s)$,
$c_2y'(s)-c_1y'(s)=\frac{1}{p(s)}$

Здесь $p(x)=1$, $x_0=0$, $x_1=\pi$

[Spook]

Для меня это какие-то странные определения да и с обобщенными функциями сейчас в сессию разбираться времени нет. Если кто-то покажет как это решается через обобщенные функции, мне будет интересно. Вот мое решение через "мою" же функцию Грина:

$$G(x,t)=-\frac 1 {\omega}\left\{\begin{array}{1} u_2(x)u_1(t),t\leqslant x\\ u_2(t)u_1(x),x\leqslant t \end{array}\right$$

Общий вид:
$y(x) = \lambda\int\limits_0^{\pi} {G(x,t)y(t )dt }$
Исходное уравнение решается методом вариации постоянных
$y=C_1(x)u_1(x)+C_2(x)u_2(x)$
здесь $u_i$ - некоторые линейно независимые решения, а $C_i$ находятся из системы:

$$\left\{\begin{array}{1} C'_1u_1+C'_2u_2=0,\\ C'_1u'_2+C'_2u'_2=0, \end{array}\right$$

откуда $u_i(x)=a_ix+b_i$ $C_i=0$
Теперь подставляя начальные условия(коэффициенты вроде можно функционально связывать должным образом, но не уверен и тем неменее)
$u_1(0)=\cos{\alpha}, u'_1(0)=\sin{\alpha}$, откуда $u_1(x)=x$
$u_2(\pi)=\cos{\beta}, u'_2(\pi)=-\sin{\beta}$, откуда $u_2(x)=\frac{\sqrt{2}} {2}x-\frac{\sqrt{2}}{2}(1+\pi) $или просто без константы $1+\pi-x$
Вронскиан $\omega=u_1u'_2-u_2u'_1=-\pi-1$
Теперь сама функция Грина

$$G(x,t)=\frac 1 {\pi+1}\left\{\begin{array}{1} (1+\pi-x)t,t\leqslant x\\ (1+\pi-t)x,x\leqslant t \end{array}\right$$

Вроде подходит, но смущает то, что в интегральном уравнении отсутствуе $\lambda$, а она там определенно должна быть.

[zoo]

Spook писал(а):

Может еще как нибудь можно решить?

Можно. Но лучше разобраться в существе дела [Комеч Практическое решение задач мат. физики], а детали в тривиальной задаче можно и самому восстановить.

[Spook]

zoo книгу скачал, буду разбираться. Всем спасибо.

[ewert]

Spook писал(а):

Для меня это какие-то странные определения да и с обобщенными функциями сейчас в сессию разбираться времени нет.
. . . . . . . . . . . .
Вроде подходит, но смущает то, что в интегральном уравнении отсутствуе $\lambda$, а она там определенно должна быть.

У Вас -- именно задача Штурма-Лиувилля. Т.е. не что иное, как задача на собственные числа некоторого самосопряженного дифференциального оператора, область определения которого задаётся, в частности, граничными условиями.

Формулировка задачи -- неграмотна: речь не об интегральном уравнении, а о переходу к задаче на собственные числа (точнее, характеристические) для интегрального оператора, являющегося обратным к исходному дифференциальному.

Функция Грина традиционно определяется по-разному. С моей точки зрения, наиболее идейный подход -- это что она представляет собой ядро того самого обратного интегрального оператора.

Другой подход (не менее традиционный): функция Грина -- это отклик краевой задачи на произвольную импульсную функцию. Т.е. решение краевой задачи (с тем же дифференциальным оператором $A$ и теми же граничными условиями) вида

$$A{\bf u}=\delta(x-y)$$

.

Эквивалентность (на нестрогом уровне) обоих подходов довольно очевидна даже без знания теории обобщённых функций, достаточно "наивного" определения дельта-функции: мол, она равна нулю везде, кроме нуля, "равна бесконечности" в нуле, а вот интеграл от неё по любой окрестности нуля равен единице.

[Spook]

ewert, да, у нас она и определена как ядро. Про $\lambda$ я не понял сразу - она должна быть естественно. Свойства кстати у нас в курсе все выведены и совпадают со свойствами $\delta$ функции, так что эквивалентность, как Вы сказали, на нестрогом уровне действительно видна. А про обобщенные функции я почитаю, благо книгу уже скачал и она довольно занятная. Еще раз всем спасибо, вопрос решен.