стержень на циклоидальной направляющей

[pogulyat_vyshel]

На циклоидальную направляющую своей серединой насажен однородный массивный стержень. Стержень может скользить по направляющей без трения таким образом, что угол между стержнем и направляющей остается прямым. Стержень отпускают с малой начальной скоростью из верхней точки (в которой стержень расположен вертикально) ,и он под действием силы тяжести он начинает соскальзывать вниз. За какое время стержень спустится в нижнюю точку, в которой он должен будет занять горизонтальное положение?

[realeugene]

За бесконечное. Так как начальная скорость "малая", а верхняя точка - точка неустойчивого равновесия, время ухода от неё возрастает неограниченно при устремлении начального возмущения к нулю.

[fred1996]

Видимо ТС задает все-таки некий малый начальный толчок $\Delta V$ в верхней точке.
Если я не ошибаюсь, то тогда задачка сводится к качению невесомого цилиндра без проскальзывания, на обод которого и насажен массивный стержень. Правда при этом он крутиться где-то в два раза медленнее цилиндра. То есть такая вот передаточная связь.
Образующеся в таком случае энергетическое уравнение представляет собой весьма нелинейный дифур, с уоторым непонятно что делать. Правда, я могу и ошибаться насчет соотношения вращений. Может оно не постоянно. Пока не проверял. Есть еще маленькая зацепка на использование известной симметрии, если взять точки, симметрично расположенные относительно центра цилиндра, в них уловые скорости могут тоже быть "симметричны", так что средняя угловая скорость как-бы остается постоянной и ее можно вычислить в точке четверти оборота цилиндра. Но, пока что вроде так не получается.
А, кстати, идея замечательная. То есть при кажущейся неразрешимости дифура находить "симметричные" точки так, чтобы усреднение по ним давало нужное упрощение.
Буду думать в этом направлении уже над другими задачами. Здесть пока кажется облом.

[pogulyat_vyshel]

Ура! я сообразил как надо правильно формулировать вопрос.

На циклоидальную направляющую своей серединой насажен однородный массивный стержень. Стержень может скользить по направляющей без трения таким образом, что угол между стержнем и направляющей остается прямым. Стержень толкают из верхней точки (в которой стержень расположен вертикально) так, что начальная скорость его центра не равна нулю. Стержень начинает скользить вниз в поле силы тяжести. Какова скорость середины стержня в нижней точке циклоидальной арки, когда он должен будет занять горизонтальное положение? Доберется ли стержень до нижней точки за конечное время?

Ответ: да, доберется; скорость центра будет равна 0

[amon]

fred1996 в сообщении #1252045 писал(а):

Здесь пока кажется облом.

Так, вроде, все не сложно. Задача с голономной связью, эффективно - задача с одной степенью свободы, энергия сохраняется. Значит $E=H(q,\dot{q}).$ Если исхитриться, и выбрать обобщенную координату так, что бы это уравнение решалось относительно $\dot{q}:\quad \dot{q}=F(E,q),$ то ответ в квадратурах мгновенно пишется. Дьявол, как всегда, в деталях - удачном выборе обобщенной координаты.

[dovlato]

В нижней точке поступательная скорость равна нулю - потому что кривизна там стремится к бесконечности, а угловая скорость обязательно ограничена.
Можно, в связи с этим, поставить вопрос - в какой точке скорость будет максимальна, если принять, что наверху она близка к нулю.

[fred1996]

Ну да. В новой формулировке задачка совсем неинтересная. Всем известно, что в точке соприкосновения колеса с землей поступательная скорость равна нулю. И эта точка является мгновенным центром вращения колеса.

[dovlato]

Можно перевернуть циклоиду вверх ногами. И исследовать частоту свободных колебаний от их амплитуды.

[fred1996]

amon в сообщении #1252065 писал(а):

fred1996 в сообщении #1252045 писал(а):

Здесь пока кажется облом.

Так, вроде, все не сложно. Задача с голономной связью, эффективно - задача с одной степенью свободы, энергия сохраняется. Значит $E=H(q,\dot{q}).$ Если исхитриться, и выбрать обобщенную координату так, что бы это уравнение решалось относительно $\dot{q}:\quad \dot{q}=F(E,q),$ то ответ в квадратурах мгновенно пишется. Дьявол, как всегда, в деталях - удачном выборе обобщенной координаты.

Да, вы правы, переменные тут делятся без проблем. Это я поначалу ошибся в промежутке.