Трансцендентность значения косинуса

[DM_13]

Интересует вопрос: при каких $k\in N$ значение $\cos(\pi/k)$ является трансцендентным числом? Какие есть результаты на эту тему, где можно об этом прочитать?

[atlakatl]

Алгебраическими для синуса являются $30^0$ и $45^0$. Есть формулы для 1/2 и 1/3 аргумента, дающие те же алгебраические значения. Т.е. можно получить "коренные" числа для $90^0/(2^i \ctod 3^j)$, где i,j - целые числа.
Т.е. счётное число точек алгебраическое, остальные такие числа трансцендентные.
Не исключаю, что есть формулы для 1/5, 1/7, 1/11 и т.д. аргумента. Но где их взять, не знаю.

[Dmitriy40]

Вот не согласен, для $k=1 \ldots 30$ вольфрам выдаёт полиномы, корнем которых является косинус, т.е. косинус не трансцендентный. Причём степень полинома не более $k-1$.
Подозреваю таких $k \in \mathbb{N}$ вообще нет, чтобы косинус от $\frac{\text{период}}{k}$ стал трансцендентным.

[atlakatl]

Dmitriy40
С чем "не согласен"?

[Dmitriy40]

atlakatl в сообщении #1251763 писал(а):

С чем "не согласен"?

Ну например с трансцендентностью $\cos(\pi/5)$.

[atlakatl]

Dmitriy40
Не лгите. Сейчас я приведу 2 цитаты, объясните связь между ними:

atlakatl в сообщении #1251759 писал(а):

Не исключаю, что есть формулы для 1/5, 1/7, 1/11 и т.д. аргумента.

Dmitriy40 в сообщении #1251767 писал(а):

Ну например с трансцендентностью $\cos(\pi/5)$.

[Dmitriy40]

atlakatl в сообщении #1251759 писал(а):

Т.е. можно получить "коренные" числа для $90^0/(2^i \ctod 3^j)$, где i,j - целые числа.
Т.е. счётное число точек алгебраическое, остальные такие числа трансцендентные.

Объясните как из процитированного может следовать алгебраичность $\cos(\pi/5)$? Сказано же "остальные такие числа трансцендентные", а $\pi/5$ не выражается в виде $\pi/(2^i \ctod 3^j), i,j \in \mathbb{Z}$ и значит подпадает под определение "остальные" которые трансцендентные, однако это не так.

[sergei1961]

Распишем тождество $\cos(k\times\frac{\pi}{k})=-1$. Как известно, $\cos(nx)$ раскладывается по явной формуле по степеням $\cos(x)$ - вот и алгебраическое уравнение. Так что при целых не получится, всегда алгебраическое число.

[atlakatl]

Действительно, в wolframalpha.com можно получить аналитику для больших чисел, делящих аргумент. Попробовал число 199, - программа выдала ответ на 2 экрана, но целочисленный полином.

Dmitriy40 в сообщении #1251771 писал(а):

Объясните как из процитированного может следовать алгебраичность $\cos(\pi/5)$? Сказано же "остальные такие числа трансцендентные"

Отвечаю, хотя отвечать вопросом на вопрос привычка демагогов:

atlakatl в сообщении #1251759 писал(а):

Не исключаю, что есть формулы для 1/5

Ваша очередь.

[DM_13]

Спасибо sergei1961 за исчерпывающий ответ.
И всем, кто откликнулся.

[sergei1961]

Вот например формула для 5:
$\cos(5x) = 5\cos(x) - 20\cos(x)^3 + 16\cos(x)^5$.

(Надо проверить, списывал из справочника с ошибкой).
Несложно вывести, $5=2+3$.

[Dmitriy40]

atlakatl
Ок, возможно я не понял что Вы подразумевали под словами "остальные такие числа трансцендентные". Или что потом смягчили это утверждение до "Не исключаю, что есть формулы ...". Увидев первое я сразу удивился, т.к. несколько первых из них я уже к тому времени проверил и они оказались вовсе не трансцендентными.
Прошу слова "Вот не согласен" не учитывать, я их сейчас зачеркну. Считайте это моими извинениями.

[atlakatl]

Dmitriy40
Нормально.

[Someone]

Разумеется, синусы и косинусы углов вида $\frac{\pi}k$ при натуральном $k$ алгебраические, так как их нахождение сводится к решению алгебраических уравнений.
Более интересен вопрос о построении $k$-угольника циркулем и линейкой без делений. Возможность такого построения равносильна тому, что значения синуса и косинуса угла $\frac{\pi}k$ можно выразить через целые числа с помощью конечного числа арифметических операций и операции извлечения квадратного корня. Для каких $k$ это можно сделать, выяснено давно: теорема Гаусса — Ванцеля