Матричное преобразование масштабирования фигуры

[maksustoff]

Добрый вечер.
Изучая тему матричных преобразований, остановился на задаче "Изменение масштаба фигуры в 1.3 раза вдоль вектора".
Дано: точка P (x1,y1), задающая вектор относительно начала координат.
Необходимо: найти матрицу преобразования, изменяющую масштаб фигуры в 1.3 раза вдоль вектора P.
Ход моих рассуждений:
1. Матрица преобразования имеет вид:

$$\begin{bmatrix} a& b \\ c& d \\ \end{bmatrix}$$

где коэффициенты a и d отвечают соответственно за масштабирование вдоль осей x и y, а коэффициенты с и b за сдвиг вдоль соответствующих осей.
2. Так как масштабирование фигуры ведется в 1.3 раза, то сумма приращений (относительно 1) коэффициентов a и d должна быть равна 0.3, а сами эти коэффициенты расчитываются относительно координат вектора P:

$a = 0.3 \frac{\left\lvert x1\right\rvert}{\left\lvert x1\right\rvert+\left\lvert y1\right\rvert}$
$d = 0.3 \frac{\left\lvert y1\right\rvert}{\left\lvert x1\right\rvert+\left\lvert y1\right\rvert}$

3. Остается найти коэффициенты c и b. Мы масштабируем вдоль вектора и следовательно необходимо, чтобы угол, на который производится масштабирование и сдвиг (относительно соответствующих осей) совпадал с углом между вектором P и соответствующими осями. Отсюда:

$\frac{c}{a}$ = $\frac{y1}{x1}$

$\frac{b}{d}$ = $\frac{x1}{y1}$

И остается только записать матрицу преобразования.

Не могу найти ошибку в рассуждениях. На практике преобразование также выполняется неверно. Например при масштабировании вдоль вектора (1000,1) получается матрица:

$$\begin{bmatrix} 1.2997& 0.0002997 \\ 0.29997& 1.0003 \\ \end{bmatrix}$$

Что в итоге не изменяет некоторые точки вовсе из-за особенностей матрицы.

Помогите, пожалуйста, разобраться. Заранее благодарю.

[Brukvalub]

maksustoff в сообщении #1251314 писал(а):

1. Матрица преобразования имеет вид:

$$\begin{bmatrix} a& b \\ c& d \\ \end{bmatrix}$$

где коэффициенты a и d отвечают соответственно за масштабирование вдоль осей x и y, а коэффициенты с и b за сдвиг вдоль соответствующих осей.

Почему это так?

[maksustoff]

Brukvalub в сообщении #1251322 писал(а):

maksustoff в сообщении #1251314 писал(а):

1. Матрица преобразования имеет вид:

$$\begin{bmatrix} a& b \\ c& d \\ \end{bmatrix}$$

где коэффициенты a и d отвечают соответственно за масштабирование вдоль осей x и y, а коэффициенты с и b за сдвиг вдоль соответствующих осей.

Почему это так?

Добрый вечер.
Возьмем точку (в виде вектора):

$$\begin{bmatrix} x && y \end{bmatrix}$$

Применим к ней преобразование (т.е. умножим на матрицу описанную матрицу). Получим новые координаты точки:

$$\begin{bmatrix} ax+yc && dy + bx \end{bmatrix}$$

Получаем, что коэффициент a и d описывает расширение на соответствующие величины по осям OX и OY (т.е. масштаб).
Коэффициенты с и b описывают зависимость (т.е. сдвиг на соответствующие величины). Так коэффициент c описывает сдвиг вдоль оси ОX, a коэффициент b сдвиг вдоль оси OY.
Надеюсь верно понял вопрос)

[arseniiv]

Возможно, всё-таки следовало бы отталкиваться от линейной алгебры, а не подставлять числа просто так. Пусть ваш вектор $\mathbf p$ составляет ортогональный базис с каким-то ещё вектором $\mathbf q$. Линейный оператор $A$ можно задать, выписав его действие на элементы некоторого базиса, и для искомого $A\mathbf p = 1{,}3\mathbf p$, $A\mathbf q = \mathbf q$. Значит, в базисе $(\mathbf p.\mathbf q)$ матрицей $A$ будет

$$\begin{bmatrix} 1{,}3 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

Как выразить матрицу оператора в одном базисе через матрицу оператора в другом базисе, надеюсь, вы знаете, и как найти $\mathbf q$, надеюсь, тоже. При желании это можно узнать из обычного учебника линейной алгебры типа Кострикина (Введение в алгебру, часть 2: Линейная алгебра).

[Brukvalub]

maksustoff в сообщении #1251331 писал(а):

Получаем, что коэффициент a и d описывает расширение на соответствующие величины по осям OX и OY (т.е. масштаб).
Коэффициенты с и b описывают зависимость (т.е. сдвиг на соответствующие величины). Так коэффициент c описывает сдвиг вдоль оси ОX, a коэффициент b сдвиг вдоль оси OY.

Это только ваши фантазии, происходящие из нежелания читать учебники.

[maksustoff]

Brukvalub в сообщении #1251338 писал(а):

maksustoff в сообщении #1251331 писал(а):

Получаем, что коэффициент a и d описывает расширение на соответствующие величины по осям OX и OY (т.е. масштаб).
Коэффициенты с и b описывают зависимость (т.е. сдвиг на соответствующие величины). Так коэффициент c описывает сдвиг вдоль оси ОX, a коэффициент b сдвиг вдоль оси OY.

Это только ваши фантазии, происходящие из нежелания читать учебники.

Данные выкладки взял из лекционного материала по компьютерной графике. Видимо ошибаюсь.

[slavav]

maksustoff в сообщении #1251341 писал(а):

Данные выкладки взял из лекционного материала по компьютерной графике. Видимо ошибаюсь.

Полагаю, что в лекционном материале речь шла матрицах размера 3 на 3.

[maksustoff]

slavav в сообщении #1251389 писал(а):

maksustoff в сообщении #1251341 писал(а):

Данные выкладки взял из лекционного материала по компьютерной графике. Видимо ошибаюсь.

Полагаю, что в лекционном материале речь шла матрицах размера 3 на 3.

Да, Вы правы. Я прошу прощения, моя ошибка.

arseniiv в сообщении #1251337 писал(а):

Возможно, всё-таки следовало бы отталкиваться от линейной алгебры, а не подставлять числа просто так. Пусть ваш вектор $\mathbf p$ составляет ортогональный базис с каким-то ещё вектором $\mathbf q$. Линейный оператор $A$ можно задать, выписав его действие на элементы некоторого базиса, и для искомого $A\mathbf p = 1{,}3\mathbf p$, $A\mathbf q = \mathbf q$. Значит, в базисе $(\mathbf p.\mathbf q)$ матрицей $A$ будет

$$\begin{bmatrix} 1{,}3 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

Как выразить матрицу оператора в одном базисе через матрицу оператора в другом базисе, надеюсь, вы знаете, и как найти $\mathbf q$, надеюсь, тоже. При желании это можно узнать из обычного учебника линейной алгебры типа Кострикина (Введение в алгебру, часть 2: Линейная алгебра).

Спасибо большое за ответ. Как поступить в описанном мной случае я понял. Но матрица преобразования, как заметил slavav является матрицей 3 на 3 (т.е. используются однородные координаты). Как нужно поступать для построения матрицы в этом случае? Подскажите, пожалуйста.

[Karan]

maksustoff, используйте для умножения знаки $\cdot$ или $\times$, а не звездочку. Я поправил Ваши сообщения.

[maksustoff]

Разобрался. Спасибо большое за помощь!