8 клеток в квадрате 5 на 5

[Ktina]

Сколькими способами можно в квадрате 5 на 5 покрасить 8 клеток так, чтобы у каждой покрашенной клетки было ровно 3 непокрашенных соседних клетки? Клетки считаются соседними, если у них есть общая сторона.

[atlakatl]

Вариант 1 единственен.
Вариант 2 годится для любой из сторон: 4 способа.
Вариант 3 считается так:
Мы должны раскрасить 6 клеток из 8. Две пустые получаются $8 \cdot 7 = 56$ способами. А 2 клетки в центре можно ещё сдвинуть вправо. Ну и проделать это на каждой стороне: $56 \cdot 2 \cdot 4 = 448$ способов.

Итого: 453 способа.
Увидел 4-й вариант: Можно раскрасить любые 2 из зелёных ячеек. Получается ещё $3 \cdot 2 \cdot 4 = 24$ способа.

[Ktina]

atlakatl
Большое спасибо!

[atlakatl]

Ktina
Пожалуйста, но не уверен, что учёл все варианты. Мож, кто ещё придумает?

[Dmitriy40]

(Полностью ошибочные варианты, ну промахнулся)

А как же варианты с клетками по углам? Например

X-X-X   X-X-X   X-X-X   X-X-X   X-X-X
-----   -----   -----   -----   -----
X---X   --XX-   X-XX-   X-XX-   X-X--
-----   -----   -----   -----   --X--
X-X-X   X-X-X   X-X--   -X--X   -X--X

Таких вариантов ещё немало.

[atlakatl]

Dmitriy40

Ktina в сообщении #1251137 писал(а):

чтобы у каждой покрашенной клетки было ровно 3 непокрашенных соседних клетки

В углу такое не случается.

[Dmitriy40]

А, точно же, я почему-то и диагонали для них посчитал. Вах, посыпаю клавиатуру пеплом.