2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задача с числ. последовательностью и функц. зависимостью
Сообщение06.06.2008, 17:35 
Здраствуйте. Помогите решить следующую задачу: дана числовая последовательность
$a_1,a_2,.....a_{35}$ о которой известно, что $a_{n+1}=f(a_n)  $
Требуется найти $a_4+a_5$ если известно, что $a_{35}=0$
и $ f(x)= \left\{ \begin{array}{l}
\frac{4x+16}{x-4} , если x<4  \\
 \sqrt[7]{\frac{x-5}{x-3}}+ \sqrt{\frac{32x-127}{2x+1}}    ,если x \geqslant 4
\end{array} \right.  $

Я стал смотреть возможность нахождения $a_{34}$ Это число не может быть меньше 4, поэтому оно получается из второй части кусочной функции. Если оценить эту часть кусочной функции, то получится что оно может принимать значения из промежутка $[4;5)$ . Но вот как быть дальше? Если пытаться расписать $a_4+a_5$ то все равно все упрется в кусочную функцию..Пытаться оценивать значения функций?...
Вобщем надеюсь на вашу помощь.

 
 
 
 
Сообщение06.06.2008, 17:56 
Аватара пользователя
Нетрудно видеть, что если $x<4$, то $f(x)<4$. Поэтому если $a_{35}=0$, то последовательность разбивается на 2: сначала сколько-то раз используется вторая часть формулы, а потом получается значение $a_k<4$ и для всех $n\geq k$, $a_{n+1}=\frac{4a_n + 16}{a_n - 4}$.

 
 
 
 Re: Задача с числ. последовательностью и функц. зависимостью
Сообщение07.06.2008, 09:23 
Аватара пользователя
Йцуке писал(а):
Я стал смотреть возможность нахождения $a_{34}$ Это число не может быть меньше 4 , поэтому оно получается из второй части кусочной функции.

Неправда. Оно вполне может быть равно $-4$.

Добавлено спустя 22 минуты 56 секунд:

Какой бы ни был $a_1\geqslant 4$, $a_2<...$
Тогда $a_3<...$
Вставьте нужное, потом учтите пост maxal'а, и все решится.

 
 
 
 Re: Задача с числ. последовательностью и функц. зависимостью
Сообщение07.06.2008, 09:39 
Аватара пользователя
Henrylee писал(а):
Какой бы ни был $a_1\geqslant 4$, $a_2<...$
Тогда $a_3<...$
Вставьте нужное, потом учтите пост maxal'а, и все решится.
Вторая формула не применяется совсем, в последовательности чередуются 0 и -4.
Ни 0, ни -4 не могут быть получены по второй формуле.
Хотя нет, 0 можно получить по второй формуле.

 
 
 
 Re: Задача с числ. последовательностью и функц. зависимостью
Сообщение07.06.2008, 09:47 
Аватара пользователя
TOTAL писал(а):
Вторая формула не применяется совсем, в последовательности чередуются 0 и -4.
Ни 0, ни -4 не могут быть получены по второй формуле.

Ноль может.
$$
f(4)=-\frac23
$$
$$
f(5)=\sqrt{3}
$$
Функция монотонно возрастает на $[4,+\infty)$

 
 
 
 
Сообщение07.06.2008, 22:22 
Благодарю за внимание) По поводу $a_{34}$ - согласен, я написал глупость :D .

Вот только не совсем понял каким образом оценивать. Как определить на каком члене вторая функция попадёт в ноль и почему это произойдёт до 4 члена последовательности ? Если $a_1\geqslant 4$ , то учитывая возрастание второй функции $a_2$ может попасть куда угодно начиная от $-\frac23$ и выше

P.S. Извиняюсь, что туго соображаю, последние 2 недели из-за работы практически не получается спать...

 
 
 
 
Сообщение07.06.2008, 22:29 
Аватара пользователя
Йцуке писал(а):
Благодарю за внимание) По поводу $a_{34}$ - согласен, я написал глупость :D .

Вот только не совсем понял каким образом оценивать. Как определить на каком члене вторая функция попадёт в ноль и почему это произойдёт до 4 члена последовательности ? Если $a_1\geqslant 4$ , то учитывая возрастание второй функции $a_2$ может попасть куда угодно начиная от $-\frac23$ и выше

Элементарно. Второй кусок функции возрастает, и куда в пределе стремится?

 
 
 
 
Сообщение07.06.2008, 23:17 
С трудом вспоминаю пределы... наверно к 5 будет стремится при x стремящемся к бесконечности...
При $a_2$ стремящемся к 5 предел будет стремится к $\sqrt{3}$
А дальше? Получается использование первой части?

 
 
 
 
Сообщение07.06.2008, 23:43 
Аватара пользователя
Йцуке писал(а):
С трудом вспоминаю пределы... наверно к 5 будет стремится при x стремящемся к бесконечности...

Самый важный вывод, который можно отсюда сделать, это то, что $a_2<5$, а это значит либо $a_2<4$ (и все последующие тоже), либо $a_2\in[4,5)$, то есть $a_3<\sqrt{3}<4$. Вывод: при любом раскладе все элементы последовательности, начиная с 3-его меньше 4. Дальше понятно?

 
 
 
 
Сообщение08.06.2008, 13:19 
Ну по поводу $a_3$ я понял. То есть получается, что начиная с этого элемента все a будут попадать в первую формулу, а поскольку необходимо чтобы последний элемент был 0, либо $a_3$, либо $a_2$, либо $a_1$ будут нулём?

И тогда ответ в любом случае получается -4 ?

 
 
 
 
Сообщение08.06.2008, 20:36 
Аватара пользователя
Йцуке писал(а):
Ну по поводу $a_3$ я понял. То есть получается, что начиная с этого элемента все a будут попадать в первую формулу, а поскольку необходимо чтобы последний элемент был 0, либо $a_3$, либо $a_2$, либо $a_1$ будут нулём?


$a_3=0$ по-любому. Про $a_1$ и $a_2$ ничего достоверно неизвестно.
Ответ, конечно, $-4$.
PS Кстати, $a_2$ не может быть равен нулю. Подумайте почему.

 
 
 
 
Сообщение09.06.2008, 00:01 
Большое спасибо за помощь.
А $a_2$ не может быть нулём потому что в этом случае $a_35$ не будет нулём :D

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group