Интеграл по границе

[StaticZero]

Пусть $f(z)$ регулярна в односвязной области $D$ и непрерывна в $D \cup \partial D$. Тогда $\displaystyle \oint \limits_{\partial D} f(z) \ \mathrm dz = 0$.

Теорему с замкнутым контуром (Коши) внутри $D$ доказываем через теорему Грина. А как перейти к случаю границы? Можно ли деформировать контур $\Gamma \subset \operatorname{Int} D$ в контур $\partial D$ так, чтобы ничего не "сломалось" в доказательстве теоремы Коши?

[ex-math]

Легко доказать для области, "звездной" относительно некоторой точки. Любую разумную область можно разрезать на звездные. Это если теорема нужна для практики.
А если нужно в максимальной общности, лучше искать в книгах. В Маркушевиче должно быть.

[ewert]

StaticZero в сообщении #1250148 писал(а):

Теорему с замкнутым контуром (Коши) внутри $D$ доказываем через теорему Грина. А как перейти к случаю границы?

Во-первых, по поводу Грина. Он требует, чтобы регулярность подразумевала непрерывную дифференцируемость. Фактически же достаточно просто дифференцируемости (см. Шабата, например; потом непрерывность производной, конечно, получается как следствие).

Во-вторых, по поводу стягиваемости контура к границе. Вопрос далеко не простой даже для гладких границ, и даже для кусочно гладких. И при этом вполне праздный. Просто предположим, что можно стянуть, после чего естественный предельный переход и всё.

А праздный он потому, что в приложениях всё равно экзотических областей не встречается.

[StaticZero]

ewert в сообщении #1250200 писал(а):

Просто предположим, что можно стянуть, после чего естественный предельный переход и всё.

То есть что-то вроде "давайте возьмём замкнутый $\gamma$ такой, что он лежит между $\partial D$ и замкнутым контуром $\Gamma$, находящимся от $\partial D$ не дальше, чем $\varepsilon$ и не пересекающийся с ним", и потом $\varepsilon \to 0$, и в силу непрерывности $f$ получим, что $\int_\gamma = \int_\Gamma = 0$ по теореме Коши для односвязной области и $\int_\Gamma \to \int_{\partial D}$ по непрерывности?

[ewert]

Так просто это не получится. Потребуется некоторое непрерывное семейство контуров. Т.е. некоторая функция двух переменных: одна -- задаёт параметризацию каждого контура и другая -- стягивает все эти контура к границе. Если эта функция непрерывна по совокупности переменных, то она и равномерно непрерывна, откуда всё и следует.

Но это некоторая ловля блох. Всем ежам всё и так понятно.

[StaticZero]

ewert в сообщении #1250207 писал(а):

Но это некоторая ловля блох. Всем ежам всё и так понятно.

Хорошо, спасибо. Договоримся, что всё очевидно "по непрерывности"

[Padawan]

Кстати, иногда определяют интеграл $\int f(z)dz$ по любой кривой, не обязательно спрямляемой. Тогда формула в стартовом сообщении остается все равно верной вроде бы.

[ewert]

Padawan в сообщении #1250242 писал(а):

Кстати, иногда определяют интеграл $\int f(z)dz$ по любой кривой, не обязательно спрямляемой.

ТФКП кривую подразумевает спрямляемой. Но ни разу этим не озабочивается -- у неё совсем другие приоритеты, сугубо практические. Она даже не задумывается над тем, что, собственно, называется контуром. А вопрос (далеко не тривиальный) о том, почему контур делит плоскость на внутреннюю и внешнюю часть, ей даже в кошмарном сне в голову не придёт.