Как получается вторая производная (формула)?

[tohaf]

$$f'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{d [f(x)]}{d x} $$

$$\lim\limits_{\Delta x \to 0}^{} = \frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} $$

$$f''(x) = \frac{d [ \frac{d [f(x)]}{d x}]}{d x} = \frac{d [ \frac{dy}{d x}]}{d x} = = d [\frac{dy}{d x}] \frac {1}{d x}= \frac{d^2y}{d x^2} $$

Как получается $\frac{d^2y}{d x^2}$ ? Почему вверху квадрат дифференциала, а внизу - квадрат икса?

[Mikhail_K]

tohaf в сообщении #1249728 писал(а):

Почему вверху квадрат дифференциала, а внизу - квадрат икса?

Внизу - не "квадрат икса", а как раз квадрат дифференциала $dx$.
Здесь запись $d^2y$ означает $d(dy)$, а запись $dx^2$ означает $(dx)^2$ (а вовсе не $d(x^2)$).

Почему именно так? Ну, когда Вы берёте дифференциал от $dy/dx$, Вы рассматриваете $dy/dx$ как функцию аргумента $x$, считая при этом $dx$ константой. Вот и получается, что $d(dy/dx)=d(dy)/dx=d^2y/dx$, и поэтому

$$ f^{\prime\prime}(x)=\frac{d(dy/dx)}{dx}=\frac{d^2y/dx}{dx}=\frac{d^2y}{dx\cdot dx}=\frac{d^2y}{dx^2}. $$

-- 22.09.2017, 14:12 --

Конечно, это только если $x$ - независимая переменная.

[Munin]

Надо рассматривать $\dfrac{d}{dx}$ как слитное обозначение, и не писать ничего вроде $d\Bigl[\dfrac{dy}{dx}\Bigr]\cdot\dfrac{1}{dx}.$ Правильная техника - всегда держать дробь вместе:

$$f''(x)=\dfrac{d\bigl[\tfrac{d[f(x)]}{dx}\bigr]}{dx}=\dfrac{d}{dx}\Bigl[\dfrac{d[f(x)]}{dx}\Bigr]=\dfrac{d}{dx}\Bigl[\dfrac{d}{dx}[f(x)]\Bigr]=\Bigl[\dfrac{d}{dx}\dfrac{d}{dx}\Bigr][f(x)]=\Bigl[\dfrac{d^2}{dx^2}\Bigr][f(x)]=\dfrac{d^2[f(x)]}{dx^2}.$$

Здесь, как сказал Mikhail_K, $dx^2$ надо понимать как $(dx)^2.$

[tohaf]

То есть dx мы просто выносим, как константу, за dy(). $d(dy)=ddy=d^2y$.

Вопрос только - почему $dx dx = dx^2$, а не $d^2x$...
Ведь обычно пишется, например, так: $ \sin x = \sin (x) , \sin ^2 (x) = \sin (x) \sin (x), \sin x^2 = \sin (x^2)$

(Оффтоп)

Правильная техника - всегда держать дробь вместе
Очень наглядно!

[Mikhail_K]

Munin в сообщении #1249745 писал(а):

Надо рассматривать $\dfrac{d}{dx}$ как слитное обозначение

Да, можно рассматривать $\frac{d}{dx}$ как единое обозначение. Но можно рассматривать дифференциал и как самостоятельный оператор $d$.

tohaf в сообщении #1249748 писал(а):

То есть dx мы просто выносим, как константу

Да.

tohaf в сообщении #1249748 писал(а):

Вопрос только - почему $dx dx = dx^2$, а не $d^2x$...

Ну, так вот решили обозначать.

[Munin]

tohaf в сообщении #1249748 писал(а):

Вопрос только - почему $dx dx = dx^2$, а не $d^2x$...
Ведь обычно пишется, например, так: $ \sin x = \sin (x) , \sin ^2 (x) = \sin (x) \sin (x), \sin x^2 = \sin (x^2)$

Вообще с $d$ здесь стандартные обозначения, где $d$ понимается как оператор. Они подобны тому, как если бы $d$ был числовым коэффициентом: $2^2x=2(2x).$

Это с синусом несистематичность. Увы, она закреплена традицией, так что никуда не денешься. Кстати, заметьте, что $f^{-1}(x)$ - это вовсе не $\bigl(f(x)\bigr)^{-1}=1/\bigl(f(x)\bigr),$ а совсем даже $(f)^{-1}(x)$ - обратная функция.

[tohaf]

Mikhail_K, Munin - спасибо!

[Munin]

По части $\sin^2 x$:

1. Надо понимать, что эти обозначения возникали и складывались в глубоком Средневековье. Насколько я помню, изначально вообще не писали $\sin x,$ а писали просто $\sin$ - понятно какой величины, и даже не величины, а треугольника. В задаче был один треугольник, и разные соотношения в нём назывались $\sin,\cos,\tg,\mathrm{sec},\mathrm{cosec},\mathrm{ctg},\mathrm{versin},\mathrm{vercos},\mathrm{haversin},\mathrm{havercos},\mathrm{exsec},\mathrm{excosec},\mathrm{crd\,(chord)}.$ Понятно, что в такой ситуации естественно было возникнуть обозначению $\sin^2.$

2. При чтении записи с доски, при проговаривании её вслух или про себя, например, при переписывании выкладок, неоднозначность неудобна:

"sin x квадрат" - это $(\sin x)^2$ или $\sin(x^2)$?
"sin квадрат x" - это точно не $\begin{xy}*{\sin(x^2)};p+LD;+UR**h@{-}\end{xy}.$