Частные решения задачи о двойном маятнике

[pogulyat_vyshel]

Рассмотрим двойной маятник в поле силы тяжести; невесомые стержни $l_1,l_2$ и точечные массы $m_1,m_2$. Через $\alpha_i$ обозначим угол между вертикалью и $l_i$.

Обезразмерим задачу, приняв $g=1,\quad l_1=1,\quad m_1=1$.

Маятник запускают таким образом, что
начальные условия имеют вид $\dot \alpha_1\mid_{t=0}=\dot \alpha_2\mid_{t=0}=\omega$ и $\alpha_1\mid_{t=0}=\alpha_2\mid_{t=0}$.

Доказать, что для любого сколь угодно малого $\varepsilon>0$ найдется такое $\Omega>0$, что если $\omega>\Omega$ то при всех $t>0$ будет $|\alpha_1(t)-\alpha_2(t)|<\varepsilon$ и $|\dot\alpha_1(t)-\dot\alpha_2(t)|<\varepsilon$

Если что, двойной маятник это вот что

[ИСН]

То есть, если по-простому, "можно раскрутить так, чтобы он почти не замечал гравитации"?

[pogulyat_vyshel]

да

[realeugene]

А резонансы там точно исчезают при достаточно большом $\Omega$?
В общем, нужно перейти во вращающиеся координаты, ввести потенциал центробежной силы, доказать, что кориолисова сила не влияет на малые колебания, и потом показать, что частота колебательной моды $\alpha_2-\alpha_1$ не совпадает с частотой вращения координат.

[pogulyat_vyshel]

realeugene в сообщении #1247326 писал(а):

А резонансы там точно исчезают при достаточно большом $\Omega$?

Нет, они точно не исчезают.
Это серьезная задача и шапками она не закидывается. Белый шум в этой ветке я уж дальше комментировать не буду, а если тут появятся содержательные попытки решения, то с удовольствием подключусь.

[pogulyat_vyshel]

Ну вот, моя попытка завести относительно серьезный разговор ожидаемо провалилась.
Запишем гамильтониан $H(p_1,p_2,\alpha_1,\alpha_2)=T+V$ и сделаем замену переменных и времени $(p,\alpha,t)\mapsto(y,x,\tau)$ по формулам

$$p_i=y_i/\varepsilon,\quad \alpha_i=x_i,\quad \tau=t/\varepsilon,$$

где $\varepsilon=1/\omega$ -- малый параметр. Получается система с гамильтонианом $K=T+\varepsilon^2 V$. Дальше КАМ

[realeugene]

(Оффтоп)

pogulyat_vyshel в сообщении #1248373 писал(а):

ожидаемо провалилась

Если ожидаемо, то зачем "пытались"? Покрасоваться? Поворчать? Или вы, всё же, хотели найти на этом форуме интересных вам собеседников? Ну так какие есть - такие есть. Очевидно, предложенная вами задача никого тут серьёзно не заинтересовала в качестве олимпиадной. Никто же не спорит, что в теормехе есть куча разных более или менее сложных задач. Да и вы, наверняка, профессионал в своей области теормеханики, в отличие от большинства других посетителей форума, многие из которых профессионалы в своих других областях, а иные (школьники и студенты) стараются ими стать. Ну и что? Хотите найти себе интересных собеседников - попытайтесь сами стать для них интересным и полезным собеседником.

[Munin]

pogulyat_vyshel
А где можно посмотреть на фазовый портрет двойного маятника?

[pogulyat_vyshel]

Посмотреть на четырехмерное многообразее, несущее неинтегрируемый поток? :) Не знаю, где такое кино показывают

[Munin]

Хотя бы на некоторые его сечения / проекции / подпространства.