Сферы в n-мерном пространстве

[MestnyBomzh]

Недавно на Numberphile вышло видео про сферы в n-мерном пространстве.
https://www.youtube.com/watch?v=mceaM2_zQd8&t=0s
У меня возник вопрос по моменту 7:34, на котором он говорит следующее: "в 9D средняя сфера касается внешним образом всех образующих сфер". Но я считаю, что это не так. Так как расстояние до центров образующих сфер в 9D пространстве будет $\sqrt{9} = 3$, а радиус сферы $2$, то она даже не пройдет через центры образующих сфер и по-прежнему будет касаться их внутренним образом. Могли бы сказать, кто же из нас прав?:)

[EtCetera]

Имеется в виду, что 9-мерное пространство — первое, в котором средняя сфера коснется поверхности внешнего гиперкуба. В 10-мерном пространстве и пространствах более высоких размерностей она уже будет "выпирать" за пределы гиперкуба.

См. «4-х мерные шарики кладем в 4-х мерный кубик».

[MestnyBomzh]

А, то есть верно ли я понимаю, что расстояние от центра координат до ближайшей грани куба всегда будет равно $2$? Это тоже немного странный результат, учитывая то, что расстояние от всех вершин куба до центра равно $\sqrt{2n}$ - постоянно растет, но при этом расстояние до грани куба остается неизменным

[EtCetera]

Почему странный? Добро пожаловать в $n$-мерье.

[Aritaborian]

«Добро пожаловать в $n$-мерье! Убедительная просьба верхнюю одежду и интуицию сдавать в гардероб.»

[Munin]

Как объём внутри сферы распределён вдоль оси для разных размерностей:

1D, 2D: (объёмы 2, 3,14)


3D, 4D: (объёмы 4,19, 4,93)


5D, 6D: (объёмы 5,26, 5,17)


. . .

9D, 10D: (объёмы 3,10, 2,55)


. . .

20D, . . . 100D: (объёмы 0,0258, $10^{-40}$)


. . .

1000 D, . . . 1000 000 D: (объёмы $10^{-886}$, $10^{-2\,383\,766}$)


-- 20.09.2017 16:15:07 --

Поэтому про многомерные сферы говорят, что "они как волчок: диск, насаженный на стержень". Но внимание! Это только то, что касается объёма. Поверхность у них расположена ещё сложнее: вся сосредоточена "на краю диска".

А сечение такой сферы любой 2-плоскостью, проходящей через центр, - по-прежнему окружность.

[Munin]

Что происходит в вышеуказанном ролике:



Сечение проходит через угол куба, центр куба, центр грани куба, центр угловой сферы и центр центральной сферы. Понятно, что при достаточно большом $n$ центральная сфера также получается сколь угодно большого размера.

-- 20.09.2017 17:28:58 --

MestnyBomzh в сообщении #1249100 писал(а):

У меня возник вопрос по моменту 7:34, на котором он говорит следующее: "в 9D средняя сфера касается внешним образом всех образующих сфер".

Буквально (и по субтитрам) он говорит:

"In nine-D the middle sphere has just contacted the outer surface of the box."

Так что, она касается не сфер внешним образом, а внешней поверхности куба. Вы неправильно расслышали.

[MestnyBomzh]

Munin
Спасибо за столь наглядные рисунки!

И да, пересмотрел тот момент, он действительно говорит про box. И уже с этим утверждением я согласен. А как выражается функция объёма внутри сферы относительно оси ?

[Munin]

https://en.wikipedia.org/wiki/Volume_of_an_n-ball

Поскольку я нормировал на единицу посередине, то строил просто график функции $\bigl(\sqrt{1-h^2}\bigr)^{n-1}.$

[venco]

Если я нигде не ошибся, то начиная с размерности 1206 объём центрального шара превысит объём куба.

[ИСН]

По-моему, гораздо раньше.
Fun fact: начиная с размерности 13, единичный шар по объёму меньше единичного куба. То есть помещается в него кусками, только на сколько же кусков (и каких) его для этого придётся разрезать?

[Munin]

ИСН в сообщении #1249421 писал(а):

Fun fact: начиная с размерности 13, единичный шар по объёму меньше единичного куба. То есть помещается в него кусками

Из первого не следует второе. Вроде бы.

А вообще, это забавно, да. Логарифм объёма единичного $n$-шара ведёт себя как $-n(\ln n-1).$ То есть, его объём равен объёму куба с медленно уменьшающейся длиной ребра (по факту, медленнее, чем $1/n$: для $n=10^6$ мы имеем только $\approx 1/100$).

[venco]

ИСН в сообщении #1249421 писал(а):

По-моему, гораздо раньше.

У меня получилось, что отношение объёма шара к обёму куба долго, до размерности $264$, уменьшается, достигая $1.00043\cdot 10^{-5}$, а потом медленно растёт, в пределе выходя на

$$0.6\dfrac{\left(\dfrac{\pi e}8\right)^{n\over2}}{e^{\sqrt n}\sqrt{\pi n}}$$

Константа неточная.

[ИСН]

Munin в сообщении #1249436 писал(а):

Из первого не следует второе. Вроде бы.

Помилуйте, но ведь ересь же. Как это он может не помещаться в кубе, если он его меньше? Были бы равны - тогда, конечно, Проблема. А так-то что? Ну, нарубите их на кубики со стороной $1\over k$; число кубиков, зарезанных границей шара, будет расти как $k^{n-1}$, а число запасных, оставшихся ненужными - как $k^n$.

venco в сообщении #1249498 писал(а):

У меня получилось, что отношение объёма шара к обёму куба...

Всё понял, мы говорили про разные кубы. Я - про тот, что с вершинами в центрах угловых шаров, а Вы - про тот большой, который совсем большой. Теперь согласен по всем пунктам.

[Munin]

ИСН в сообщении #1249610 писал(а):

Помилуйте, но ведь ересь же.

Ок, я не очень подумал. Да, можно порубить на конечное число кубиков.