То есть я правильно понимаю, что популярность кубического сплайна связанна с тем, что он наиболее применим в различных прикладных задачах нежели квадратичный?
Я за популярность сказать не возьмусь. Вот что для меня (в разных случаях) было важно
1. Непрерывность второй производной. (Уже выше было сказано.)
2. Постоянный шаг (постоянное расстояние между узлами).
3. Более высокий порядок аппроксимации на хороших функциях. [Если использовать сплайн в цикле, то хорошо бы, чтобы он не ел много памяти.]
На оффтопик. Типичные краевые условия для третьего порядка — это условия на производные или вторые производные. (Еще есть задача построения периодического сплайна, и другие, но пока замнём для ясности.) Задание первой производной отдалённо аналогично заданию условия на функцию, т.е. аналог первой краевой задачи для ОДУ 2-го порядка. Задание вторых производных — отдаленная аналогия второй краевой задачи. Отсюда и поток. Но это все словеса бессодержательные. Техника удовлетворения условиям немного другая. Хотя прогонка вызывается в любом случае. Вот подпрограммы для задания уравнений прогонки по аналогии с краевыми задачами для ОДУ как-то так иногда и называют: первого рода и второго рода. В общем, это все пустое.
Про естественность фиксации первых производных не понял. Если задача в интерполяции и рассчитать можно как первую, так и вторую производные, то «естественно» выбрать то, что рассчитать проще (особенно, если рассчитывать сложно). Хотя порядок аппроксимации хоть при использовании первой, хоть при использовании второй производной будет четвертый, при использовании первой производной вроде бы точность выше. Также вроде бы есть приемы улучшения точности при задании второй производной. (Детали не помню.) Но это не о порядке аппроксимации; это о величинах коэффициентов идет речь. В общем, что стоит за падением на 2 порядка догадаться я не смог.
И тогда эти замечательные условия -- да, "энергетически" экстремальны, однако сбивают точность аппроксимации на два порядка из четырёх возможных, увы.