Уравнение в ЦНЧ

[Ktina]

Решить в целых неотрицательных числах уравнение

$$a!\cdot b!-47^k=n^2$$

[Dmitriy40]

Хм, а Вы уверены что кроме
$0!\,0!-47^0=0^2$
$0!\,1!-47^0=0^2$
$1!\,1!-47^0=0^2$
$0!\,2!-47^0=1^2$
$1!\,2!-47^0=1^2$
$2!\,4!-47^1=1^2$
$4!\,4!-47^1=23^2$
есть ещё какие-то решения? (Последние два из них вообще в натуральных числах.)
Или в столь кратко сформулированное условие не влезло разрешение разным буковкам иметь одинаковые значения?

[mihiv]

Для четных $k>0$ решений нет.
Для нечетных $k=2m+1$ запишем уравнение в виде: $a!b!-11\cdot 47^{2m}=n^2+(6\cdot 47^m)^2$. Сумма квадратов справа не делится на 11, поэтому уравнение не имеет решений, если хотя бы одно из чисел $a,b>10$, (при этом на 11 делится левая часть). Остающиеся значения $a,b$ можно проверить перебором, но я не проверял.

[kotenok gav]

mihiv в сообщении #1248243 писал(а):

решений нет

mihiv в сообщении #1248243 писал(а):

не делится на 11

Поподробней, пожалуйста!

[Shadow]

$n^2+47^k$ не делится либо на 3 (при четном $k$), либо на 5 (при нечетном).
Потому и все фактриалыDmitriy40 меньше 5. А почему их два? Ну, наверное чтобы были и решения в натуральных. (тоскливо, когда у уравнения нет решений).