Осциллирующий интеграл

[Sicker]

У меня вопрос по поводу того, что быстро оссцилирующий интеграл зависит только от той части функции, где фаза стационарна. Но это верно только для случая одномерного интеграла, а если у нас скажем двухмерный интеграл, то там в точках, где быстро меняется фаза, можно провести кривые стационарной фазы, и суммарная площать всех этих быстрооссцилирующих значений функций будет бесконечно малая величина второго порядка. А вот в некой точке стационарной фазы(где производная фазы по направлениям равна нулю) будет бесконечно малой второго порядка, т.е. в двухмерном случае они будут сравнимы. А вот в трехмерном случае точка стационарной фазы уже будет иметь вклад в амплитуду как бесконечно малая величина третьего порядка, а точки быстрооссцилирующей фазы будут иметь целые поверхности стационарной фазы. И как тут быть?

[Alex-Yu]

Sicker в сообщении #1248061 писал(а):

а если у нас скажем двухмерный интеграл, то там в точках, где быстро меняется фаза, можно провести кривые стационарной фазы,

Нет, не верно. Все дело в том, что в многомерном случае нужно обобщить понятие точки стационарности фазы. Эта та точка, где фаза стационарна ПО ВСЕМ НАПРАВЛЕНИЯМ (очевидно достаточно по направлениям координатных осей, т.е. равенства нулю ВСЕХ частных производных). Вот окрестность такой точки и даст основной вклад в интеграл.


Ну а то, о чем Вы, так такие точки и не дают существенного вклада: при втором интегрировании все равно все занулится, даже если первое интегрирование и дает не нуль.

-- Сб сен 16, 2017 13:51:42 --

Sicker в сообщении #1248061 писал(а):

в двухмерном случае они будут сравнимы.

А-а-а-а... вот Вы о чем. Ошибка в оценке порядка малости.

[Sicker]

Alex-Yu в сообщении #1248067 писал(а):

Нет, не верно. Все дело в том, что в многомерном случае нужно обобщить понятие точки стационарности фазы. Эта та точка, где фаза стационарна ПО ВСЕМ НАПРАВЛЕНИЯМ (очевидно достаточно по направлениям координатных осей, т.е. равенства нулю ВСЕХ частных производных).

Sicker в сообщении #1248061 писал(а):

. А вот в некой точке стационарной фазы(где производная фазы по направлениям равна нулю)

Alex-Yu в сообщении #1248067 писал(а):

Вот окрестность такой точки и даст основной вклад в интеграл.

Нифига она не даст. Т.к. у точек Нестационарной фазы есть кривые, где фаза постоянна, т.е. фаза осциллирует только в одном направлении.

-- 16.09.2017, 09:53 --

Alex-Yu в сообщении #1248067 писал(а):

А-а-а-а... вот Вы о чем. Ошибка в оценке порядка малости.

Ага тоже об этом догадывался.

-- 16.09.2017, 09:57 --

Alex-Yu в сообщении #1248067 писал(а):

Ошибка в оценке порядка малости.

Только не могу найти ошибки.

[Alex-Yu]

Sicker в сообщении #1248069 писал(а):

Только не могу найти ошибки.

Ну, дык, начните сначала. Метод стацфазы это разложение по степеням $\alpha \to 0$ вот такого интеграла:

$$ \int f(x) e^{i\phi(x)/\alpha}d^n x $$

$x$ --- $n$-мерная величина.

Для начала рассмотрите тривиальный случай, когда $f(x)=1$, а $\phi$ --- квадратичная форма.

[Sicker]

хз, не знаю как расписать. Мы рассматривали только одномерный случай на лекции. Ну если словами, то порядок вклада точки со стационарной фазой будет $\alpha^n$, а порядок вклада точек с нестационарной фазой будет $\alpha$

[Sicker]

Alex-Yu
И еще, если бы основной вклад давали бы только пути с экстремальным действием, то не было бы пятна Пуассона, которое от длины волны не зависит.

[Sicker]

А, я кажется понял, если идти по гиперповерхностям постоянной фазы, от стационарной точки, то в двухмерном случае будет сжимающаяся спираль, конечная длина которой зависит от значения функции в точке стационарной фазы. В случае высоких размерностей будет сначала бесконечно расширяющаяся спираль, а потом сжимающаяся, результирующая длина которой будет определяться значением функции в точке стационарной фазы.
Верно?

Alex-Yu в сообщении #1248067 писал(а):

А-а-а-а... вот Вы о чем. Ошибка в оценке порядка малости.

Нет, они в высших размерностях будут сравнимы ( в двухмерном случае) или даже больше, но потом погасят друг друга.
Я так понимаю что функция $f(x)$ должна занулятся при больших $x$.
Тогда понятно почему существует пятно Пуассона - амплитуда соседних вкладов не сразу убывает в ноль при отступлении от экстремального пути, но из за быстрых оссциляций эти вклады не дают ничего существенного по сравнению с неким основным вкладом. В случае пятна Пуассона это значения на границе диска.

[Sicker]

Че-то в квадратичном случае выходит только для $n=1,2$

[Alex-Yu]

Sicker в сообщении #1248399 писал(а):

Че-то в квадратичном случае выходит только для $n=1,2$

Ортогональным преобразованием приведите квадратичную форму к диагональному виду. Кстати, якобиан при ортогональном преобразовании --- единица.

[Sicker]

Alex-Yu в сообщении #1248455 писал(а):

Ортогональным преобразованием приведите квадратичную форму к диагональному виду. Кстати, якобиан при ортогональном преобразовании --- единица.

И?

-- 17.09.2017, 17:01 --

Alex-Yu
Там в высоких размерностях будут страшно большие оссцилирующие колебания.

[Alex-Yu]

Sicker в сообщении #1248466 писал(а):

И?

И многомерный интеграл превратится в произведение одномерных.

Кстати, полезно еще детально разобрать, как вычисляются (аналитически!) интегралы вида (так называемые гауссовы):

$$ \int P(x) e^{i\sum x_i A_{ij}x_j} e^{i\sum x_i J_i} d^nx $$

$P(x)$ --- полином.

-- Вс сен 17, 2017 21:24:18 --

Sicker в сообщении #1248466 писал(а):

Там в высоких размерностях будут страшно большие оссцилирующие колебания.

Которые при интегрировании дают ноль. Ну почти.

[Pphantom]

Исправлены ошибки в заголовке темы.