Лебеговая мера на R. Размышления

[Dan B-Yallay]

Это какая-то каша из monotone convergence и dominated convergence theorems.

[slu4ayniyProcess]

g______d в сообщении #1248037 писал(а):

slu4ayniyProcess в сообщении #1248036 писал(а):

Вот есть свойство интеграла Лебега, заключающееся в том, что если последовательность интегрируемых по Лебегу функций сходится к функции на всем множестве точек, кроме быть может множества меры ноль, то эта функция интегрируема по Лебегу и ее интеграл равен пределу последовательности интегралов исходной последовательности.

Нет такой теоремы.

Забыл про равномерную ограниченность последовательности интегрируемой функцией. С этим условием будет эквивалентность?

-- 16.09.2017, 14:52 --

Хотя сейчас понимаю, что это дополнительное условие все ломает. Т.к. оно применяется ко всей последовательности целиком.
И даже если мы наложим условие ограниченности заранее определенной интегрируемой функцией на все пространство сразу (для всех элементов пространства и всех x должно выполняться условие < G(x), G(x) интегрируема по Лебегу.), то после предельных переходов, мы можем получить функцию, которая при определенных x будет равна G(x), то есть нарушаем изначальное условие (< G(x)). Но если это условие заменить скажем на $ \leqslant G(x)$?

Dan B-Yallay в сообщении #1248039 писал(а):

Это какая-то каша из monotone convergence и dominated convergence theorems.

Поясните пожалуйста.

[Dan B-Yallay]

slu4ayniyProcess в сообщении #1248114 писал(а):

Поясните пожалуйста.

То, что Вы сформулировали на предыдущей странице, является неким критерием для перехода к пределу под интегралом Лебега. Реально в анализе на этот счёт есть 2 теоремы, и ни одна из них не формулируется в том виде, который предложили Вы. Но в каждой понемногу что-то есть.

[g______d]

slu4ayniyProcess в сообщении #1248114 писал(а):

Забыл про равномерную ограниченность последовательности интегрируемой функцией. С этим условием будет эквивалентность?

Эквивалентность чего чему?

[slu4ayniyProcess]

g______d в сообщении #1248205 писал(а):

slu4ayniyProcess в сообщении #1248114 писал(а):

Забыл про равномерную ограниченность последовательности интегрируемой функцией. С этим условием будет эквивалентность?

Эквивалентность чего чему?

Попробую описать свои размышления. Чтобы стало примерно понятно о чем это я и к чему вообще такое спрашиваю.

Сейчас изучаю мат. статистику по книге Крамера. У него вначале излагается теория меры и интеграла Лебега. А далее теор. вер. и мат. стат. Дошел до понятия мат. ожидания, то есть до одного из мест применения этого самого интеграла Лебега (Лебега Стилтьеса на самом деле, но т.к. для непрерывно дифференцируемых функций он приводится к Лебегу, суть это меняет не сильно.). И увидел, что в этом случае интеграл берется по всей действительной оси. Далее я прикинул, где еще далее может понадобиться интеграл Лебега. Понял, что скорее всего, чтобы подсчитывать вероятность, интегрируя функцию плотности распределения, по интересующим нас множествам. Я подумал, что это могут быть за множества такие. На ум мне пришли только интервалы или совокупности интервалов. Мат. статистика, она ведь сугубо практическая область. Откуда там взяться всяким экзотическим множествам.
Далее я логично задумался, а зачем тогда вообще мера Лебега, интеграл Лебега и все такое. Можно ведь обойтись суммой интегралов Римана. Эти размышления и сподвигли меня изначально создать данную тему.
В ходе топика выяснилось что мера Лебега нужна по большому счету для ввода понятия интеграла Лебега. А интегрировать в целом можно и по отрезку.
Я стал рассуждать далее. Зачем собственно нам в таком случае интеграл Лебега. По отрезку интегрировать ведь и Риманом можно.
Далее вспомнилась, та самая теорема о предельном переходе под интегралом Лебега, которую Крамер приводит в своей книге. И также отмечает, вот это свойство и представляет основное преимущество интеграла Лебега над Риманом. Отсюда я логично прикинул, что можно взять последовательность функций интегрируемых по Риману и в пределе получить функцию не интегрируемую по Риману, но интегрируемую по Лебегу.

Далее в этой теме не раз упоминались функциональные пространства, пространство Лебега и свойство этого пространства быть полным, а также прямое влияние интеграла Лебега на пространство Лебега(ну в смысле метрика через интеграл Лебега задается. Думаю ничего страшного, что я через метрические пространства буду излагать мысль.). И т.к. полнота она также про предельные переходы в фундаментальных последовательностях, я начал искать связь, между теоремой про предельный переход под интегралом и полнотой пространства Лебега.
Стоит отметить, что у Крамера, наверное в силу упрощения изложения, нету ничего про функциональные пространства, зато есть про интеграл Лебега. А у Кудрявцева (уже упоминал, что читал его.), наоборот есть про функциональные пространства и интеграл Римана, и нету про интеграл Лебега.

Изначально думал о том, как можно задать метрику для функционального пространства, так, чтобы сходимость по этой метрике была поточечной (для равномерной сходимости ведь существует
своя метрика, чем поточечная хуже?). У Крамера, ни про какие метрики или нормы не упоминалось, поэтому про предел последовательности функций(той что в теореме про предельный переход под интегралом) я изначального думал в поточечном смысле. В общем сломал голову, но ничего так и не придумал. Далее взглянув, на определение сходимости в метрическом пространстве, и на определение поточечной сходимости, решил, что они между собой не соотносятся, т.к. в одном случае у нас грубо говоря числовая последовательность, а в другом несчетное множество числовых последовательностей не связанных между собой никакой закономерностью(т.к. каждая последовательность рассматривается по отдельности). Поэтому равномерная сходимость и была введена наверное как отдельная сущность , т.к. ее через сходимость числовой последовательности можно выразить. Поправьте если ошибаюсь.

Далее взглянул еще раз на формулировку Лебеговской теоремы про предельный переход под интегралом. Увидел, что совсем забыл про то, что там фигурирует сходимость почти везде. Понял, что это не поточечная сходимость явно и тут уже просматривается интегральная метрика, которой как раз пофиг на значения функций на множествах меры нуль.
То есть с помощью этой теоремы можно составить некоторое пространство с интегральной метрикой и доказать его полноту.
А т.к. в пространстве Лебега метрика, также интегральная (при p равном одному в нашем случае), плюс пространство Лебега полное, то так и напрашивается взаимосвязь. Главное корректно наложить ограничение на функции пространства. А в том ограничении, которое вижу я должна фигурировать некая интегрируемая по Лебегу функция, которая будет ограничивать все функции пространства. А это не универсально.
В общем тут как раз сказывается мой пробел в теории применения интеграла Лебега для построения пространства Лебега. Наверное нужно про это будет прочитать, ради внутреннего спокойствия. Может быть посоветуете книгу?

[g______d]

slu4ayniyProcess в сообщении #1248326 писал(а):

Далее взглянул еще раз на формулировку Лебеговской теоремы про предельный переход под интегралом.

Там две теоремы, как минимум (упоминались выше -- о монотонной сходимости и о сходимости при наличии суммируемой мажоранты). При этом в доказательстве полноты $L^1$ нужны обе. По крайней мере, в том, которое мне известно.

slu4ayniyProcess в сообщении #1248326 писал(а):

В общем тут как раз сказывается мой пробел в теории применения интеграла Лебега для построения пространства Лебега. Наверное нужно про это будет прочитать, ради внутреннего спокойствия. Может быть посоветуете книгу?

Колмогоров, Фомин, "Элементы теории функций и функционального анализа". Ну или ещё неплохая книжка Tao, "Introduction to measure theory", но я не помню, доказывает ли он там полноту $L^1$.

slu4ayniyProcess в сообщении #1248326 писал(а):

Изначально думал о том, как можно задать метрику для функционального пространства, так, чтобы сходимость по этой метрике была поточечной (для равномерной сходимости же есть своя метрика).

Можно показать, что поточечная сходимость задаётся топологией, но не метризуема. А сходимость почти везде не задаётся даже топологией.

slu4ayniyProcess в сообщении #1248326 писал(а):

ачал искать связь, между теоремой про предельный переход под интегралом и полнотой пространства Лебега.

Имея две вышеуказанные теоремы о предельном переходе в интеграле Лебега, можно, действительно, доказать полноту $L^1$. Это несложно, но требует некоторых дополнительных рассуждений. Прямой связи (типа что полнота $L^1$ эквивалентна возможности переходить к пределу под знаком интеграла), по-видимому, нет.

Проблема в том, что вы пишете страницу текста, не содержащую ни одного математического утверждения. На конкретные вопросы было бы намного проще ответить. Я понимаю, что вам лень разбираться в деталях, но в теорию меры нет царского пути, и если вы собираетесь заниматься своим никнеймом, у вас это должно отскакивать от зубов (потому что в случайных процессах рассматриваются меры на множестве траекторий, которые являются значительно более сложными и абстрактными объектами, чем мера Лебега на $\mathbb R$).

[dsge]

slu4ayniyProcess в сообщении #1248326 писал(а):

В общем тут как раз сказывается мой пробел в теории применения интеграла Лебега для построения пространства Лебега. Наверное нужно про это будет прочитать, ради внутреннего спокойствия. Может быть посоветуете книгу?

Посмотрите конструкцию стохастического интеграла (одна из самых важных концепций в случайных процессах), он может быть только Лебеговым, при Римановом построении интегральные суммы могут стремиться почти куда угодно в зависимости от выбора точек. Гл.2 Оксендаль "Стохастические дифференциальные уравнения". Хорстхемке, Лефевр, "Индуцированные шумом переходы", гл.5 - книга, написанная для физиков, стохастический интеграл объясняется "на пальцах", в том числе почему Риман не проходит в этой конструкции.

[slu4ayniyProcess]

Всем привет. Спасибо за ответы. Стало намного понятнее. Давайте продолжим.

Послушал вот этого мужика. Он на видео верхнеуровнево расказывает про Лебега. И соответственно отметил несколько интересных мне фактов.
Определения интеграла Римана хватает только для функций, у которых множество точек разрыва имеет меру нуль.
А интеграл Лебега в свою очередь может интегрировать функции, разрывные всюду.
При этом функции разрывные всюду можно получить как сумму ряда функций интегрируемых по Риману.

И собственно это и я хотел выяснить.
То есть для всяких разных функций, интегрируемых по Риману в мат. анализе были рассчитаны интегралы, разными аналитическими способами.
А дальше мы могли эти функции между собой комбинировать разными способами. И вычислять интеграл Римана от комбинации этих функций при помощи сведения всего этого к комбинации интегралов от функций, интеграл от которых уже известен.

1) Но как только появляется необходимость вычислять интеграл от суммы ряда функций, то в некоторых случаях все ломается. То есть появляются функции множество точек разрыва которых имеет меру отличную от нуля. Риман тут не справляется. А Лебег справляется. Верно?
2) Суммировать ряды функций, а потом считать интеграл от полученного важно во многих приложениях математики. Например в мат. статистике. Поэтому для мат. статистики изучают интеграл Лебега, а не ограничиваются Риманом. Верно?
3) По сути вся теория меры и интеграла Лебега во многих практических мат. дисциплинах(меня в данном случае интересует статистика) нужна, чтобы ввести на законном основании правило вычисления интеграла от предела последовательности или от суммы ряда функций. При этом сами функции(члены ряда или последовательности) как правило интегрируемы по Риману. Хотя могут быть и по Лебегу интегрируемы, а по Риману не интегрируемы. Но они в свою очередь из интегрируемых по Риману функций получаются. В общем в конце концов, все сводится к функциям интегрируемым по Риману.
А правило вводится на основании вот этой теоремы:
.
И того факта, что если функция интегрируема по Риману, то ее интеграл по Риману равен ее интегралу по Лебегу.
Верно?
4) Сходимость в данном случае понимается как сходимость почти везде. То есть мы игнорируем множество точек меры нуль. И с практической точки зрения имеем на этой право. Т.к. это обосновано следующими пунктами:
4.1) нам не особо интересна сама функция получаемая предельным переходом, нам нужен интеграл от нее. А интеграл не зависит от значений на множестве меры нуль.
4.2) т.к. все функции последовательности ограничены интегрируемой функцией, то мы знаем, что даже если в какой то точке и не сходится последовательность, то по крайней мере в бесконечность она там не уходит, а "прыгает" в каком то конечном интервале.
Поэтому интеграл от такой функции представляет вполне "законную" величину, на которую можно положиться на практике. Верно?
5) Также выясняется, что с интегральной нормой по Лебегу, можно построить полное пространство функций. Но это уже применяется где-то немного в других дисциплинах. А может и в мат. статистике, но более продвинутой, чем базовая.

[slu4ayniyProcess]

Обратил внимание на еще одно свойство меры Лебега. Не относящееся ни к интегралу, ни тем более к нормам. Оно вроде по ходу рассуждений то и дело неявно всплывало, но не акцентировалось.
Замкнутость класса измеримых функций относительно предельного перехода (поточечного/почти всюду).
И вроде такой особенности у более простых мер нету.
Это собственно к моему первоначальному вопросу: "Зачем мера Лебега?".

Получается, чтобы замкнуть операцию предельного перехода в функциональных последовательностях/рядах.

Без меры Лебега выходит, у нас что-то вроде этого получается с непрерывными на отрезке функциями и равномерной сходимостью. А если вместо равномерной сходимости взять поточечную/почти всюду, уже так красиво не получается. Но если мы заменим класс непрерывных функций на более общий, то и с поточечной/почти всюду сходимостью можем решить проблему. Правда, для этого нам нужно определить меру Лебега. (ну или более общую Лебега-Стилтьеса).

Подтвердите пожалуйста, что я докопался наконец до сути.

[deep down]

Не то, чтобы суть. Скорее, альтернативный подход.
Начнём с $C(\mathbb{R})$, найдём наименьший класс, который их содержит и замкнут относительно поточечных пределов. Тогда множества $f^{-1}((-\infty, a))$ для всех полученных функций и $a\in\mathbb{R}$ как раз и образуют борелевскую $\sigma$-алгебру. Остаётся только что-то сказать о пополнении меры - и будет лебеговская.
Ещё можете почитать про интеграл Даниэля. Там как раз всё начинается с функций.