Порядок смежного класса

[PeterSam]

Здравствуйте!
Осваиваю теорию аддитивных абелевых групп, попалась такая задача.
Имеется факторгруппа $\mathbb{Q}$/$\mathbb{Z}$. Нужно доказать, что любой элемент этой факторгруппы имеет конечный порядок.
Как рассуждаю я. Элементы факторгруппы - смежные классы. Каждый смежный класс в данном случае - это множество дробей вида $\frac{m}{n}+b = \frac{m+bn}{n}$, где $b, m\in \mathbb{Z}, n\in\mathbb{N}$.
Порядок элемента факторгруппы в данном случае - это порядок её смежного класса. Поскольку смежный класс - это множество, то его порядок равен мощности этого множества. Но ведь в каждом смежном классе бесконечное множество дробей!
В чём моя ошибка?

[ИСН]

Остановитесь и сделайте шаг назад, потому что впереди болото с гадюками.
Посмотрите на более простой случай: фактор-группа $\mathbb Z/2\mathbb Z$. Какие в ней элементы? (Их немного, если что.) Какие у них порядки? Имеют ли эти порядки какое-то отношение к тому, что сами элементы в каком-то смысле представляют собой бесконечные множества?

[Mikhail_K]

PeterSam в сообщении #1246934 писал(а):

Поскольку смежный класс - это множество, то его порядок равен мощности этого множества.

Это утверждение неверно, откуда Вы его взяли?
Посмотрите определение факторгруппы. Как в нём определяется сложение двух её элементов (т.е. двух смежных классов)?
Теперь посмотрите определение порядка элемента. Вам нужно показать, что если Вы возьмёте любой элемент факторгруппы и начнёте его складывать с ним самим, то рано или поздно (за конечное число шагов) придёте к тому же самому элементу.

[Munin]

PeterSam в сообщении #1246934 писал(а):

Имеется факторгруппа $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$. Нужно доказать, что любой элемент этой факторгруппы имеет конечный порядок.

То есть, что для каждой дроби $\tfrac{m}{n}$ найдётся такое целое $q,$ что:

$q[\tfrac{m}{n}]=[0]$ в факторгруппе, то есть
$q\tfrac{m}{n}$ принадлежит смежному классу $0,$ то есть
$q\tfrac{m}{n}$ имеет вид $0+b,$ то есть
$q\tfrac{m}{n}$ - целое.