противоречивость ZFC, последствия

[er]

Тут
Вопрос про обобщённые функции!
ZFC is inconsistent.
прозвучала идея, что ZFC противоречива. Доказательство как то связано с существованием счетных моделей ZF. Пусть даже это не так, но, кажется, может случится. Cчетные моделей ZF важны для форсинга. Кстати, сравнительно недавно мне объясняли, что вроде бы этих счетных моделей как бы и нет, но пользоватся ими можно - это я не очень понял..

0. Насколько можно пользоватся комбинаторными утверждениями из теории множеств.
Ультрафильтры, лемма о $\Delta$ корне и т.п.
1. Что тогда с методом форсинга и результатами, получеными с помощью него.
2. Большие кардиналы (например, измеримые по Уламу). Каков их статус.
3. Утверждения типа proper forcing axiom (PFA). Насколько можно пользоватся следствиями из них. Кажется, PFA вытекает из существования какого то большого кардинала..

Из логики пришел подозрительный метод доказательства ZFC утверждений, основаный на элементарных подмоделях (elementary submodels). Чаще всего такие доказательства можно переписать в нормальной манере, но иногда это не получается. Пока что интуиция отказывается принимать такие доказательства за вполне корректные. Если ZFC не верна и порок в манипуляциях с моделями ZF, то что делать с такими доказательствами?

[Руст]

Да вряд ли это повлияет на математику, за пределами логики и теории множеств. Да и там существенных изменений не произойдет, что надо переделают, или несколько изменят (уточнят) некоторые трактовки и термины, чтобы они остались верны независимо от этого.

[Котофеич]

er писал(а):

Тут
Вопрос про обобщённые функции!
ZFC is inconsistent.
прозвучала идея, что ZFC противоречива. Доказательство как то связано с существованием счетных моделей ZF. Пусть даже это не так, но, кажется, может случится. Cчетные моделей ZF важны для форсинга. Кстати, сравнительно недавно мне объясняли, что вроде бы этих счетных моделей как бы и нет, но пользоватся ими можно - это я не очень понял..

0. Насколько можно пользоватся комбинаторными утверждениями из теории множеств.
Ультрафильтры, лемма о $\Delta$ корне и т.п.
1. Что тогда с методом форсинга и результатами, получеными с помощью него.
2. Большие кардиналы (например, измеримые по Уламу). Каков их статус.
3. Утверждения типа proper forcing axiom (PFA). Насколько можно пользоватся следствиями из них. Кажется, PFA вытекает из существования какого то большого кардинала..

Из логики пришел подозрительный метод доказательства ZFC утверждений, основаный на элементарных подмоделях (elementary submodels). Чаще всего такие доказательства можно переписать в нормальной манере, но иногда это не получается. Пока что интуиция отказывается принимать такие доказательства за вполне корректные. Если ZFC не верна и порок в манипуляциях с моделями ZF, то что делать с такими доказательствами?

Ну в том что ZFC действительно противоречива можно не сомневаться. Идея доказательства достаточно проста и общедоступна. Полное доказательство с соблюдением
всех формальностей будет также приведено и возможно очень скоро. Противоречивость
ZFC не является слишком большой неожиданностью. Это легко заподозрить, исходя из
теоремы Геделя о полноте, которая требует объективного существования бесконечной
модели для ZFC. Существует два варианта выхода из этого тупика. Первый вариант состоит
в урезании классической математики до уровня брауэровского интуиционизма или чего либо
в этом роде. Второй путь состоит в полной перестройке классической математики на базе
специальных противоречивых логик. Многие теоремы классической математики при этом
сохраняются, но с некоторыми достаточно сильными ограничениями. Вопрос о том, что станет
с теми достаточно сложными конструкциями классической математики, о которых Вы спрашиваете, был достаточно детально исследован мною а также специалистами в области
неклассической теории множеств и неклассической логики. Если Вас эти вопросы интересуют,
то я рассмотрю несколько возможных вариантов, но сначала на примерах более простых
объектов.

[незваный гость]

Цитата:

Вместить в мир бамбуковую рощицу можно. Но удастся ли садовнику вместить весь мир в свою бамбуковую рощу, это, по-моему, сомнительно.

Применительно к нашему случаю, если ZFC и противоречива -- надо менять модель, а не мир. Будет построена другая теория множеств, но боюсь, классическая математика устоит. Поскольку есть отражение мира....

[er]

Котофеич писал(а):

Если Вас эти вопросы интересуют, то я рассмотрю несколько возможных вариантов, но сначала на примерах более простых объектов.

А каких объектов?

Ультрафильтры останутся?

Вообще то, хорошая штука, с помощью их, например, можно коротко и понятно доказать арифмитическую теорему из "жемчужин" Хинчина, которая у него занимает много страниц запутанных рассуждений.

[Котофеич]

незванный гость писал(а):

:evil:

Цитата:

Вместить в мир бамбуковую рощицу можно. Но удастся ли садовнику вместить весь мир в свою бамбуковую рощу, это, по-моему, сомнительно.

Применительно к нашему случаю, если ZFC и противоречива -- надо менять модель, а не мир. Будет построена другая теория множеств, но боюсь, классическая математика устоит. Поскольку есть отражение мира....

Нет не устоит. Все теоремы, которые были доказаны методом от противного,
будут разрушены (я позже поясню, что с ними будет). Потом кто Вам сказал, что абстракця актуальной бесконечности, принятая в классической математике это отражение объективной реальности Как Вы думаете, почему известная статья Рашевского была в свое время
опубликована в УМН. Я уже дал ответ на этот вопрос в соответствующей теме.
http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=1345

[Someone]

er писал(а):

Из логики пришел подозрительный метод доказательства ZFC утверждений, основаный на элементарных подмоделях (elementary submodels). Чаще всего такие доказательства можно переписать в нормальной манере, но иногда это не получается. Пока что интуиция отказывается принимать такие доказательства за вполне корректные. :) Если ZFC не верна и порок в манипуляциях с моделями ZF, то что делать с такими доказательствами?

Противоречия в теории доказательств возникают, похоже, не первый раз (http://www.philosophy.ru/library/math/volpin.html), и никто, похоже, не знает, что с ними делать. Занятно, что эти противоречия никуда за пределы теории доказательств не распространяются. Во всяком случае, за 40 лет этого не произошло, и о них по-прежнему знает только узкий круг специалистов. Видимо, они являются исключительно противоречиями теории доказательств и означают, что логики окончательно запутались в своих хитроумных рассуждениях.

Ситуация выглядит примерно так. Имеется некоторая теория T, которую мы желаем исследовать методами теории доказательств. Мы хотим средствами теории T рассуждать о высказываниях теории T и об их доказуемости. Напрямую это невозможно, поскольку теория T имеет средства для описания своих объектов, но не своих высказываний. В частности, "внутри" теории T ничего неизвестно ни об алфавите, ни о высказываниях, ни о доказуемости высказываний теории T. Поэтому мы должны каким-то способом превратить высказывания и доказательства теории T в её объекты.
Для этого требуется прежде всего формальное описание теории T, для чего мы должны иметь соответствующую метатеорию MT. Средствами метатеории мы должны описать язык теории T и средства доказательства, а потом погрузить всё это в теорию T. Для этого погружения мы средствами теории T описываем метатеорию MT вместе с имеющимся в ней описанием теории T, и получаем требуемое.
Здесь, однако, есть явное осложнение. Получается, что теория MT как бы сама себя описывает, в то время как для этого нужна метаметатеория MMT. В действительности, конечно, внутри T описана не теория MT, а некая теория MT', "подозрительно похожая" на MT, а внутри MT', в свою очередь, описана не M, а опять же "подозрительно похожая" на M теория M'. Например, алфавит теории MT' является объектом теории T, в то время как алфавит теории MT не является объектом теории T.
Для доказательства противоречивости T отождествляются MT с MT' и T с T'. Мне вовсе не очевидно, что эти отождествления безобидны, даже если Котофеич абсолютно уверен в допустимости этого. Вдобавок, всё рассуждение происходит внутри метаметатеории MMT, которая у нас формально не описана и о непротиворечивости которой мы ничего не знаем.

Когда мы пытались обсуждать рассуждение Котофеича, он в конце-концов выдал приведённую выше ссылку на А.С.Есенина-Вольпина, который также высказывает сходные сомнения.

Цитата:

«Сущности» явлений иногда расщепляются незаметно для рассуждающего, который не догадывается о необходимости вовремя изменить обозначения. Объекты, которые следовало бы обозначить по-разному и различать, сливаются для рассуждающего в один. При пересчете таких объектов легко может возникнуть путаница.

[незваный гость]

Котофеич писал(а):

Нет не устоит. Все теоремы, которые были доказаны методом от противного, будут разрушены (я позже поясню, что с ними будет). Потом кто Вам сказал, что абстракця актуальной бесконечности, принятая в классической математике это отражение объективной реальности Как Вы думаете, почему известная статья Рашевского была в свое время опубликована в УМН. Я уже дал ответ на этот вопрос в соответствующей теме. http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=1345

Позволю себе не согласиться по нескольким причинам:

1) Существование неевклидовых геометрий не отменило евклидову, хотя и обогатило наше понимание геометрии (и оказалось очень продуктивным в физике). Я не исключаю существование неклассических арифметик, я просто думаю, они не отрицают право на существование классической.

2) Всяка модель аки зерцало кривое -- отражает, да не все. Я затрудняюсь вспомнить, кто мне "сказал, что абстракця актуальной бесконечности, принятая в классической математике это отражение объективной реальности". Не исключаю, что это мое мнение, сформированное на базе моего ограниченного обывательского опыта. Физики, коим это мешает (как мешала бы классическая геометрия построению ОТО), вправе выбрать / построить другую абстракцию. Модель -- она и есть модель, чтобы от нее можно было отказаться тогда, когда она становиться неудовлетворительной.

3) Я думаю, что статья Рашевского опубликована потому, что редакция сочла затронутые в ней вопросы достаточно интересными. Кроме того, будучи концептуальной, она не претендует на правоту или строгость -- это приглашение вместе подумать и поработать над новыми моделями (желательно, нужными современной физике, что перекликается и со статьей Арнольда).

4) Замечу (вскользь), что Вы "уже дал[и] ответ на этот вопрос в соответствующей теме", не является аргументом хотя бы потому, что Ваш ответ необязательно был принят. Я верю только себе одному, да и то до тех пор, пока меня не опровергнут.

[Котофеич]

Someone писал(а):

er писал(а):

Из логики пришел подозрительный метод доказательства ZFC утверждений, основаный на элементарных подмоделях (elementary submodels). Чаще всего такие доказательства можно переписать в нормальной манере, но иногда это не получается. Пока что интуиция отказывается принимать такие доказательства за вполне корректные. Если ZFC не верна и порок в манипуляциях с моделями ZF, то что делать с такими доказательствами?

Противоречия в теории доказательств возникают, похоже, не первый раз (http://www.philosophy.ru/library/math/volpin.html), и никто, похоже, не знает, что с ними делать. Занятно, что эти противоречия никуда за пределы теории доказательств не распространяются. Во всяком случае, за 40 лет этого не произошло, и о них по-прежнему знает только узкий круг специалистов. Видимо, они являются исключительно противоречиями теории доказательств и означают, что логики окончательно запутались в своих хитроумных рассуждениях.

Ситуация выглядит примерно так. Имеется некоторая теория T, которую мы желаем исследовать методами теории доказательств. Мы хотим средствами теории T рассуждать о высказываниях теории T и об их доказуемости. Напрямую это невозможно, поскольку теория T имеет средства для описания своих объектов, но не своих высказываний. В частности, "внутри" теории T ничего неизвестно ни об алфавите, ни о высказываниях, ни о доказуемости высказываний теории T. Поэтому мы должны каким-то способом превратить высказывания и доказательства теории T в её объекты.
Для этого требуется прежде всего формальное описание теории T, для чего мы должны иметь соответствующую метатеорию MT. Средствами метатеории мы должны описать язык теории T и средства доказательства, а потом погрузить всё это в теорию T. Для этого погружения мы средствами теории T описываем метатеорию MT вместе с имеющимся в ней описанием теории T, и получаем требуемое.
Здесь, однако, есть явное осложнение. Получается, что теория MT как бы сама себя описывает, в то время как для этого нужна метаметатеория MMT. В действительности, конечно, внутри T описана не теория MT, а некая теория MT', "подозрительно похожая" на MT, а внутри MT', в свою очередь, описана не M, а опять же "подозрительно похожая" на M теория M'. Например, алфавит теории MT' является объектом теории T, в то время как алфавит теории MT не является объектом теории T.
Для доказательства противоречивости T отождествляются MT с MT' и T с T'. Мне вовсе не очевидно, что эти отождествления безобидны, даже если Котофеич абсолютно уверен в допустимости этого. Вдобавок, всё рассуждение происходит внутри метаметатеории MMT, которая у нас формально не описана и о непротиворечивости которой мы ничего не знаем.

Когда мы пытались обсуждать рассуждение Котофеича, он в конце-концов выдал приведённую выше ссылку на А.С.Есенина-Вольпина, который также высказывает сходные сомнения.

Цитата:

«Сущности» явлений иногда расщепляются незаметно для рассуждающего, который не догадывается о необходимости вовремя изменить обозначения. Объекты, которые следовало бы обозначить по-разному и различать, сливаются для рассуждающего в один. При пересчете таких объектов легко может возникнуть путаница.

"Someone" Вам надо не Есенина-Вольпина читать, а В.А. Успенского, чтобы наконец
понять, что все те "отождествления" и погружения о которых Вы пишете, давным давно
проделаны Геделем и Успенским. Все предикаты, которые используются в моем доказательстве, выразимы в ZFC. Разумеется это не очевидно и доказывается, однако
доказательство просто, с учетом техники Геделя или Успенского. Когда ознакомитесь с полной версией, тогда и делайте выводы. Потом тут далеко не все знакомы с теоремами
Геделя, а Ваши рассуждения и аргументы, на самом деле, справедливы применительно только к достаточно общим формальным теориям, но не к ZFC. Ссылку на Вольпина я дал однако как на неудачную попытку доказательства непротиворечивости. Вольпин
пишет не о методах Геделя, которые абсолютно безупречны, а о своих личных исканиях.

[Котофеич]

незванный гость писал(а):

:evil:

Котофеич писал(а):

Нет не устоит. Все теоремы, которые были доказаны методом от противного, будут разрушены (я позже поясню, что с ними будет). Потом кто Вам сказал, что абстракця актуальной бесконечности, принятая в классической математике это отражение объективной реальности Как Вы думаете, почему известная статья Рашевского была в свое время опубликована в УМН. Я уже дал ответ на этот вопрос в соответствующей теме. http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=1345

Позволю себе не согласиться по нескольким причинам:

1) Существование неевклидовых геометрий не отменило евклидову, хотя и обогатило наше понимание геометрии (и оказалось очень продуктивным в физике). Я не исключаю существование неклассических арифметик, я просто думаю, они не отрицают право на существование классической.

2) Всяка модель аки зерцало кривое -- отражает, да не все. Я затрудняюсь вспомнить, кто мне "сказал, что абстракця актуальной бесконечности, принятая в классической математике это отражение объективной реальности". Не исключаю, что это мое мнение, сформированное на базе моего ограниченного обывательского опыта. Физики, коим это мешает (как мешала бы классическая геометрия построению ОТО), вправе выбрать / построить другую абстракцию. Модель -- она и есть модель, чтобы от нее можно было отказаться тогда, когда она становиться неудовлетворительной.

3) Я думаю, что статья Рашевского опубликована потому, что редакция сочла затронутые в ней вопросы достаточно интересными. Кроме того, будучи концептуальной, она не претендует на правоту или строгость -- это приглашение вместе подумать и поработать над новыми моделями (желательно, нужными современной физике, что перекликается и со статьей Арнольда).

4) Замечу (вскользь), что Вы "уже дал[и] ответ на этот вопрос в соответствующей теме", не является аргументом хотя бы потому, что Ваш ответ необязательно был принят. Я верю только себе одному, да и то до тех пор, пока меня не опровергнут.

Ну сравнение с неевклидовой геометрией уместно, но только до некоторой степени.
Противоречивость ZFC говорит о том, что теория бесконечных множеств не может быть
построена в рамках классической логики. Все подходящие логики являются достаточно
сильными расширениями классической логики. Одна из таких логик, была предложена
в свое время Андреем Колмогоровым. Логика Колмогорова является расширением
интуиционистской логики Брауэра. Логики сходного типа, но на базе совершенно другой
идеи были предложены великим русским логиком Н.А.Васильевым, основоположником
современной теории противоречивых логик. Интересно, что Васильев был выпускником
Казанского университета как и Н. И. Лобачевский и звали его тоже Николай.
Однако имеется и принципиальное различие. Евклидова и неевклидова геометрия
существуют параллельно. Параллельно с классической теорией множеств давно существует
и неклассическая теория множеств и в разных вариантах. Но существование противоречия
внутри ZFC делает невозможным построение математики не только на базе ZFC но и на
базе любых сходных теориий, а других просто не существует.
Я не совсем понимаю с какой стати Sameone пишет о том что противоречия не играют
в математике никакой роли. Это заявление мягко выражаясь просто ложь. Проблема
парадоксов и противоречий всегда была в центре внимания логиков и математиков.
Сама система теории множеств ZFC была предложена в результате попытки преодоления
проблемы связанной с парадоксом Кантора и Рассела. Проблеме противоречий в математике
предавали колоссальное значение такие величайшие математики как Гильберт, Колмогоров,
Тарский, Брауэр и многие другие. Может для простого бухгалтера или колхозника это все глупости, но для математики эти вопросы играют фундаментальную роль. Математика это точная наука, в ней существуют своя этика и свои авторитеты и противопоставлять свое мнение мнению таких авторитетов не всегда уместно и не всем позволительно.
Хорошо известно, что открытие парадоксов в наивной теории множеств, полностью
преобразило классическую математику, которая до этого не была столь формальной
наукой. Совершенно не обязательно, чтобы последствия того или иного открытия быстро
повлияли на науку в целом.

[Котофеич]

er писал(а):

Котофеич писал(а):

Если Вас эти вопросы интересуют, то я рассмотрю несколько возможных вариантов, но сначала на примерах более простых объектов.

А каких объектов?

Ультрафильтры останутся?

Вообще то, хорошая штука, с помощью их, например, можно коротко и понятно доказать арифмитическую теорему из "жемчужин" Хинчина, которая у него занимает много страниц запутанных рассуждений.

Все зависит от того какую логику использовать. Если например интуиционистскую,
то существует интуиционистская версия нестандартного анализа и там имеется аналог
понятия ультрафильтра. Какие из теорем классического нестандартного анализа при этом
проходят в интуиционистской версии нужно спросить у соответствующих специалистов.
Если использовать противоречивую логику, то там тоже имеются свои аналоги обычных
ультрафильтров. Детали я разъясню на примерах.

[er]

Котофеич писал(а):

Хорошо известно, что открытие парадоксов в наивной теории множеств, полностью преобразило классическую математику, которая до этого не была столь формальной наукой. Совершенно не обязательно, чтобы последствия того или иного открытия быстро повлияли на науку в целом.

Мне кажется, тут не вся правда. Я не очень хорошо знаю историю математики, но мне кажется, основные причины формализации математики были другими.

На рубеже 19-20 веков математики стали использовать все более и более "рискованные" рассуждения. Стали получать патологические примеры, которые противоречили интуитивным представлениям. Один из таких примеров, хоть и не самый важный, но наглядный: шар можно разделить на 5 частей таким образом, что из них можно собрать два шара такого же размера.

Реакция математиков на такую ситуацию у математиков была разная, но имеем то, что имеем.. Мне кажется, что причины были следующии:
1. "Рискованные" рассуждения позволяли доказывать многие вещи проще.
2. Через некоторое время сложилось впечетление, что "рискованные" рассуждения нельзя опровергнуть "корректными" рассуждениями, поэтому "рискованные" результаты приобрели очевидную ценность.

Парадоксы в теории множеств касались прежде всего теории множеств и логиков, не особо трогали "нормальных" математиков. Насколько знаю, в "нормальной" математике не было ошибочных результатов, основанных на этих парадоксах.

Кажется, "нормальные" математики с некоторым трудом стали считать теорию множеств (да и логику) частью математики, поначалу относили их к философии. Диссертацию Лузина в МГУ математики отклонили, так что он защитил эту диссертацию как философ. Да и за границей, кажется, подобные проблемы были.

Что такое математика.. Я попытаюсь изложить свои взляды. Математика состоит из двух частей.

1. Формально-содержательная. Изучение разнообразных аксиоматических систем в соответствии с правилами логики. Создание определений и доказательство теорем.
2. Смысловая-гуманитарная. Математики склонны видеть в своей деятельности некий смысл. Некоторые утверждения они считают важными, а некоторые нет. Эта часть влияет какие именно вводят определения математики и какие именно теоремы доказывают.

Объективная реальность к формально-содержательной части отношения не имеет.

Насчет доказательства противоречивости ZFC. Какое то оно подозрительно короткое. Хочется увидеть ZFC-доказательство ложного утверждения.

[Котофеич]

Доказательства противоречивости ZFC отнюдь не короткое. Полное доказательство, с
соблюдением всех принятых формальностей, не меньше чем 20 стр. ZFC-доказательство ложного утверждения как раз и получается, если перевести приведенное метадоказательство
на язык ZFC, что достигается путем использования геделевской нумерации. Само ложное
утверждение, (которое доказуемо в ZFC) имеет огромную длину, как и геделевское
неразрешимое предложение.
Формализация математики имеет много причин. Но главной причиной формализации было
именно открытие парадоксов. Теорема Тарского которую Вы упоминаете, была доказана
именно в рамках ZFC.
Парадоксы Кантора и Рассела, разумеется касались только теории множеств и не имели
никакого отношения к обычной математике. Они только насторожили...
Однако противоречие которое получено в ZFC, касается уже всей математики, кроме
арифметики первого порядка. Те же рассуждения позволяют получить противоречие и
внутри арифметики второго порядка, т.е. обычные средства, которые используются для
построения анализа также противоречивы.
Я уже говорил, что подозрения о противоречивости ZFC усилились после того как Гедель
доказал теорему о полноте.
Независимо от этого, логики начали разработку математики в рамках неклассических
логик. Вот здесь можно ознакомиться.
http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=8540&highlight=#8540

[er]

А что произодет с результатми о независимости некоторых утверждений от ZFC? Например, независимость континум гипотезы от ZFC.

Пример независимого от ZFC утверждения я привел в
http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=1716
Факт достаточно интересный и время от времени используется в разных областях математики..

[Котофеич]

er писал(а):

А что произодет с результатми о независимости некоторых утверждений от ZFC? Например, независимость континум гипотезы от ZFC.

Пример независимого от ZFC утверждения я привел в
http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=1716
Факт достаточно интересный и время от времени используется в разных областях математики..

Ответ на этот вопрос мне не известен. В теории множеств с паранепротиворечивой
логикой сама формулировка аналога континуум гипотезы резко усложняется и проблема
должна решаться заново. В таких теориях даже теорема Кантора далеко не всегда
справедлива. Вооще еще со времен Брауэра хорошо известно, что использование более
общей логики, чем классическая, резко усложняет все математические конструкции.
Я рассмотрю пока, в ближайшее время, только вопрос с ультрафильтрами.