не равные суммы двух групп

[Soul Friend]

Можно ли разделить натуральные числа на две группы так, что любая (последовательная, не последовательная) сумма чисел из первой группы не равнялось любой сумме из второй группы? А если сумму заменить на произведения?
Мне кажется такое разделение невозможно, если разделить на чётные и нечётные, то сумма двух нечётных чисел будет равно какому нибудь чётному, а чередовать их не имеет смысла. Разделение на произведения тоже невозможно так как умножение это сокращенное суммирование.
Ещё вопрос, если вместо натуральных чисел взять какую нибудь последовательность, можно ли его разделить на две такие группы? Но в случае с последовательностью можно рассматривать два варианта 1) равняется, 2) не равняется. Одно из двух явно должно существовать(но одно не исключает другое) , и является ли это решение общим для всех последовательностей? Нужно рассматривать всю последовательность, и количество чисел обеих групп должны быть равны, иначе будет всё тривиально.

[ET]

Soul Friend в сообщении #1244221 писал(а):

Можно ли разделить натуральные числа на две группы так, что любая (последовательная, не последовательная) сумма чисел из первой группы не равнялось любой сумме из второй группы?

Можно. В одну сторону единичку, в другую все остальные. А вам это зачем?
А вот если оба семейства бесконечно, то нельзя, потому что то семейство, которое содержит единичку, обязано содержать все остальные числа начиная с какого-нибудь другого

Soul Friend в сообщении #1244221 писал(а):

А если сумму заменить на произведения?

Аналогично. Тут, кажется можно и с бесконечными. ,В одну сторону все четные в другую все нечетные

[Soul Friend]

с натуральным рядом разобрались, как на счёт разных последовательностей? Вопрос возник в связи с изучением проблемы $P=NP$.

[ET]

Иногда можно, иногда нет. От последовательности зависит.

[Soul Friend]

вот если формулу из гипотезы Римана сделать последовательностью из $n$:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\frac{1}{2}+ix}}$$

то это означает, что для некоторых $x$ эту последовательность можно разделить на две группы так, что прибавив сумму одной группы на сумму второй группы получим ноль?

P.S: Поправка, нужно рассматривать последовательность не как сумму, а просто:

$$\frac{1}{n^{\frac{1}{2}+ix}}$$

[ET]

А что насчет того, что в бесконечных суммах нельзя так просто поменять порядок суммирования, а ваши приемы именно на это намекают?

[Vince Diesel]

По теореме Римана члены условно сходящегося ряда можно переставить так, чтобы новый ряд сходился к любому нужному числу. Но это для рядов с действительными членами. А верно ли это комплексных рядов?

[Soul Friend]

ET в сообщении #1244506 писал(а):

А что насчет того, что в бесконечных суммах нельзя так просто поменять порядок суммирования

так ведь мы получаем нули не меняя порядок суммирования.

[Munin]

Vince Diesel в сообщении #1244574 писал(а):

По теореме Римана члены условно сходящегося ряда можно переставить так, чтобы новый ряд сходился к любому нужному числу. Но это для рядов с действительными членами. А верно ли это комплексных рядов?

Возьмём ряд с чисто вещественными членами, и рассмотрим его как комплексный. Как он может сходиться к невещественному числу? Боюсь, что не получится...

[ET]

Munin
Это понятно
Интереснее другое - а существует ли вообще неабсолютносходящийся комплекснозначный ряд, в котором для любого комплексного числа можно изменить порядок суммирования так, чтобы он сходился к этому числу?

[Munin]

Возьмём два таких вещественных ряда, помножим один на $i,$ и сложим чередованием членов. Теперь можно их переставлять раздельно, сохраняя первый ряд на нечётных позициях, второй - на чётных.

[Soul Friend]

если разделить на чёт и нечёт, выполнится ли равенство:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac12+ix}} = \sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{(2m)^{\frac12+ix}}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^{\frac12+ix}}$$

и есть ли онлайн инструмент который суммирует бесконечные комплексные ряды и строит графики?

[Munin]

Посмотрите отдельно на действительную и мнимую части этого ряда. Они будут прежними рядами, разреженными нулями.

[Brukvalub]

Vince Diesel в сообщении #1244574 писал(а):

По теореме Римана члены условно сходящегося ряда можно переставить так, чтобы новый ряд сходился к любому нужному числу. Но это для рядов с действительными членами. А верно ли это комплексных рядов?

Штейниц еще в 1913 г. доказал, что множество сумм перестановок членов условно сходящегося ряда с членами в конечномерном векторном пространстве образует линейное многообразие. В частности, на комплексной плоскости может получиться либо некоторая прямая, либо вся сфера Римана, и есть примеры, когда бывает именно прямая.
Более того, этот вопрос исследован и в Банаховых пространствах.