Детский вопрос про расслоения струй

[vanger]

Пусть $\pi: E \to M$ и $\rho: F \to N$ -- векторные расслоения.

Как хорошо известно, для гладкого отображения $\phi: E \to F$, накрывающего локальный диффеоморфизм $\phi_0: M \to N$, существует продолжение $\mathrm{pr}\, \phi: J^\infty (M) \to J^\infty (N)$, определённого так, что, если $s$ -- любое локальное сечение $E$, определённое в окрестности точки $x \in M$, то $\mathrm{pr}\, \phi (j^\infty(s)(x)) = [j^\infty(\phi \circ s \circ \phi_0^{-1})] (\phi_0(x))$, где $j^\infty(s)$ -- продолжение сечения, а $[]$ -- класс эквивалентности сечений с одинаковыми частными производными.

Можно ли как-то разумно определить продолжение $\phi$, если $\phi_0$ не является локальным дифферморфизмом, а, например, вложение?