(Геометрия) Квадрат длины биссектрисы

[Einsteinquote]

Доброго времени суток! Вопрос по школьной планиметрии
В задачнике встретил незнакомую формулу, доказательство которой не смог найти в традиционном школьном учебнике геометрии (Атанасян), сёрфинг в интернете оказался для меня тоже безрезультатным, поэтому решил написать сюда. Формула отмечена на картинке красным цветом:
https://i.imgur.com/tKJVdXb.png (Картинка)
Хочу разобраться откуда она берется, в идеале ссылку на какой-нибудь источник, где можно почитать её выведение\доказательство или идею как можно вывести самому.
Сам пытался вывести док-во через теорему косинусов, в надежде что что-нибудь сократится и получится эта формула, но потерпел неудачу.

[12d3]

Опустим из основания биссектрисы перпендикуляры на стороны. Треугольник будет поделён на 4 части. Из этих частей можно собрать два других треугольника, с тем же самым углом $\alpha$. Посчитайте их площади.

[ex-math]

Если не путаю, можно еще описать вокруг треугольника окружность, продлить биссектрису до пересечения и рассмотреть подобные треугольники.

[provincialka]

Короткий поиск привел к Теореме Стюарта

[matidiot]

Можно воспользоваться векторной формулой для биссектрисы: $\vec l =\frac{a\cdot \vec b+b\cdot \vec a}{a+b}$, где $\vec a$ и $\vec b$ - вектора соответствующих сторон треугольника с длинами $a$ и $b$. Все три вектора проведены из одной вершины треугольника. Для получения формулы надо вычислить квадрат длины вектора $\vec l$, а также учесть, что $2\cdot\vec a \cdot \vec b=a^2+b^2-c^2$, где $c$ - третья сторона треугольника.

[Батороев]

Можно также составить и решить совместно уравнения теоремы косинусов для каждого из двух треугольников (полученных от разбиения исходного биссектрисой).

[Munin]

matidiot в сообщении #1244836 писал(а):

Можно воспользоваться векторной формулой для биссектрисы: $\vec l =\frac{a\cdot \vec b+b\cdot \vec a}{a+b}$, где $\vec a$ и $\vec b$ - вектора соответствующих сторон треугольника с длинами $a$ и $b$.

Это само по себе интересно, откуда формула?

[ex-math]

Munin
Биссектриса делит противолежащую сторону в отношении прилежащих сторон.

[Munin]

А, ну да. "Не узнал в гриме".