1 2 8 9 12 24 36 132 612 ... конечно или бесконечно?

[Ktina]

1 2 8 9 12 24 36 132 612 ... конечно или бесконечно?

Рассмотрим последовательность 1 2 8 9 12 24 36 132 612 ...
Это натуральные числа, которые делятся на количество своих делителей, на сумму своих цифр и на произведение своих цифр.
Разумеется, ни один из членов последовательности не содержит цифру 0, так как на 0 делить нельзя.
Как узнать, конечно или бесконечно множество таких чисел?

[Dmitriy40]

Думаю бесконечно. Т.к. количество
$10^0\ldots10^1-1=4,$
$10^1\ldots10^2-1=3,$
$10^2\ldots10^3-1=2,$
$10^3\ldots10^4-1=10,$
$10^4\ldots10^5-1=23,$
$10^5\ldots10^6-1=58,$
$10^6\ldots10^7-1=167,$
$10^7\ldots10^8-1=414,$
$10^8\ldots10^9-1=1064.$
Видно что количество членов последовательности с возрастанием чисел не падает, как могло показаться для первых 9 указанных Вами.

[Ktina]

Dmitriy40
А как Вы сосчитали это количество?

[Dmitriy40]

Ktina в сообщении #1244798 писал(а):

А как Вы сосчитали это количество?

Не аналитически разумеется.
Написал программу на PARI/GP

for(i=1,999999999,if(i%sumdigits(i)==0,d=digits(i);p=prod(k=1,#d,d[k]);if(p>0&&i%p==0&&i%matsize(divisors(i))[2]==0,print1(i,","))))

запустил до миллиарда с выводом чисел в файл, а в нём уже подсчитал количество чисел. Ушло меньше 15 минут на всё.

[Ktina]

Dmitriy40
Простите за наглость, а можно список из первых 100 членов в студию?

[Dmitriy40]

Ktina в сообщении #1244810 писал(а):

Простите за наглость, а можно список из первых 100 членов в студию?

Да без проблем, причём тут наглость:

Используется синтаксис Text

1,2,8,9,

12,24,36,

132,612,

1116,1212,1332,1344,2232,3168,3276,4224,6624,6912,

11232,11424,12132,12768,13212,16416,18432,18816,21132,21216,22176,24192,31212,34272,41112,42336,42624,42912,61344,61824,62112,71316,86112,

112116,112224,113112,113184,114912,116172,121112,121116,123264,123732,126432,131328,132192,134112,136224,141312,162432,163296,172116,183168,196128,
214144,231264,232416,237132,241632,261216,266112,272832,291168,311328,342144,373212,381312,
411192,411264,411648,411712,419112,421632,422112,431136,438912,441216,442176,613332,621216,622272,647136,698112,
713664,714112,719712,724416,741216,842112,964224,973728,

Забавно что до миллиона как раз ровно 100 членов.

Да, кстати, эта последовательность является пересечением например вот этих двух: A038186 (отсюда и почти весь код взял) и A057529.

[Ktina]

Dmitriy40

(Оффтоп)

Ой, красотень-то какая!

[Dmitriy40]

Странно, только заметил, цифра $5$ в числах не встречается ни разу. Впрочем как и нечётные младшие цифры (за исключением первых 4-х членов). Интересно почему ... Наверное здесь и можно подвести теорию (делимости) ...

-- 03.09.2017, 15:20 --

А, не, с нечётными всё понятно (количество делителей всегда чётно и потому нечётные вылетают). Вот с 5 чуть посложнее, для делимости на 5 (а она будет в произведении цифр) надо младшую 0 или 5, а оба этих варианта недопустимы. Красиво.

-- 03.09.2017, 15:23 --

Dmitriy40 в сообщении #1244820 писал(а):

количество делителей всегда чётно

Тормознул, квадраты (и степени) нечётных чисел не учёл, как с ними быть не знаю пока.

[Ktina]

Dmitriy40 в сообщении #1244820 писал(а):

Странно, только заметил, цифра $5$ в числах не встречается ни разу.
...

Если в числе есть 5 и какая-нибудь чётная цифра, то произведение цифр оканчивается нулём, а на нуль делить партия не велит.

[Dmitriy40]

Ну всё равно остаётся вариант из произведений степеней нечётных чисел и 5 в степени. Таких пока нету, но доказательство всё же не полное.
Кстати, посчитал всё же и следующий диапазон: $10^9\ldots10^{10}-1=2694$. Считалось больше часа. Дальше уже запускать не буду, столько времени жаль.

[Aritaborian]

Dmitriy40 в сообщении #1244882 писал(а):

Дальше уже запускать не буду, столько времени жаль.

А что, PARI/GP в данном случае жрёт все ресурсы и не даёт работать с чем-то ещё?

[Dmitriy40]

Aritaborian в сообщении #1244884 писал(а):

А что, PARI/GP в данном случае жрёт все ресурсы и не даёт работать с чем-то ещё?

Ну как, процессор ведь загружает, на 100% (правда кажется лишь в одном потоке, да и idle приоритет ещё не запретили). Но есть что считать и без него, а эта задача интересна менее остальных. И если часа счёта ещё не жаль, то более 10 часов счёта ... лучше пущу на другое. Программа выше выложена, желающие могут сами запустить и считать. Если кому будет ну очень надо, подправлю чтобы выводила сразу количество в диапазонах, а не все найденные числа, это не сильно сложно.