Двойной математический маятник

[fred1996]

pogulyat_vyshel в сообщении #1244511 писал(а):

fred1996 в сообщении #1244498 писал(а):

ы достаточно долго наблюдаете за хаотическим движением этого маятника.

что такое хаотическое движение? определение дайте

Для двойного математического маятника можно подобрать такие начальные условия, которые дают периодические колебания. То есть через какие-то равные промежутки времени процесс в точности повторяется. Но это чисто математический фокус, поскольку усточивыми эти периодические колебания не являются. И в конце концов система свалится в непериодические колебания/вращения. Их и можно назвать хаотическими.

fred1996 в сообщении #1244498 писал(а):

Первая задача на самом деле детерминирована и в известном смысле движение там четко периодическое.

Цитата:

в известном смысле, точнее говоря в силу известных теорем, почти все движения там периодическими не являются, но являются квазипериодическими

В первой задаче (без гравитации) единственными двумя параметрами, определяющими однозначное поведение системы является энергия и угловой момент. Это можно понять просто задав произвольный угол $\varphi$. Тогда угловые скорости $\dot{\varphi}$ и $\dot{\psi}$ вычисляются однозначным образом из заданных $E$ и $L$. То есть оба угла будут изменяться чисто периодически:
$\varphi(t+T)=\varphi(t)$, а $\psi(t+T)=\psi(t)+\psi_0$
Здесь $T$ период, а $\psi_0$ угол накрутки массы $m_1$ вокруг оси вращения за данный период. Это я и имею ввиду под периодичностью, которая, как понятно, может быть однозначно вычислена по заданным энергии и угловому моменту.

Остальное я комментировать не буду, поскольку в теормехе совсем не силен.

[fred1996]

pogulyat_vyshel
Давайте я все же своими словами попытаюсь объяснить что я имею ввиду.
В каждый момент времени мы имеем фиксированные значения $\varphi, \psi, \dot{\varphi}, \dot{\psi}$.
При заданном значении полной энергии системы вообще говоря задание трех из этих величин однозначно определяет четвертую. С точностью до некоторой симметрии. Возьмем тогда любое энергетически допустимый набор первых трех величин. При хаотическом движении скорее всего в будущем система будет принимать состояния сколь угодно близкие к данному набору. Это значит, что можно все трехмерное пространство по первым трем координатам разбить на мелкие кубики и сосчитать время пребывания системы в каждом кубике. Это время и будет пропорционально плотности вероятности. Остается проинтегрировать эту функцию по $\dot{\varphi}$, чтобы получить искомую плотность вероятности $f(\varphi, \psi)$

[pogulyat_vyshel]

fred1996 в сообщении #1244523 писал(а):

То есть оба угла будут изменяться чисто периодически:
$\varphi(t+T)=\varphi(t)$, а $\psi(t+T)=\psi(t)+\psi_0$

только это не называется периодическим движением Периодическое движение это движение , которому соответствует замкнутая траектория в фазовом пространстве

fred1996 в сообщении #1244540 писал(а):

При хаотическом движении скорее всего в будущем система будет принимать состояния сколь угодно близкие к данному набору.

Если Вы хотите сказать, что почти все траектории системы заметают всюду плотно уровень интеграла энергии, то это неверно вообще говоря. Вы неверно понимаете хаос. Вам там выше дали ссылки, очень советую ознакомиться.

fred1996 в сообщении #1244540 писал(а):

Это значит, что можно все трехмерное пространство по первым трем координатам разбить на мелкие кубики и сосчитать время пребывания системы в каждом кубике. Это время и будет пропорционально плотности вероятности. Остается проинтегрировать эту функцию по $\dot{\varphi}$, чтобы получить искомую плотность вероятности $f(\varphi, \psi)$

это уже,простите, просто набор слов

[fred1996]

pogulyat_vyshel
Зря вы цепляетесь к определениям. Я уже объяснил, что в первой задаче движение абсолютно детерминировано и в чем заключается периодичность. По крайней мере периодичность функции $\varphi(t)$ у нас налицо. Хотя , когда я только давал задачу я этого не подразумевал.
Что касается остального, то на интуитивном уровня я объяснил, что имею ввиду. Кто хотел, тот понял.
И потом основная идея этого топика даже не в том, чтобы четко сформулировать задачу, которая мне пришла в голову достаточно спонтанно, а показать, что можно придумать целый класс интересных задач на эту тему. Тему о вероятностях нахождения механическиой системы в определенных допустимых состояниях.
Может даные конкретные задачи и не имеют простого аналитическиго решения, но уверен, что можно придумать и не такие тривиальные, как для одинарного математического маятника, пружинного маятника или просто прыгающего мячика.

Кстати, если вторая задача с гравитацией действительно сложна, то можно придумать более простой потенциал. Например потенциал центральной силы между вторым телом и осью вращения. Можно, например, использовать электрический потенциал, обычную пружину с силой $F=-kr$, или даже отталкивающий потенциал с силой, пропорциональной расстоянию $F=kr$
Ну а в качестве других задач, например прыгающий мячик в следующей конструкции:



Здесь мы имеем две, наклонные под одинаковым углом $\alpha$ плоскости. И прыгающий по этим плоскостям мячик. Задача двумерная. Очевидно, что в общем случае траектория мячика, уроненный с начальной высоты $h$, будет заметать весь естественно образованный треугольник. Нужно опять сосчитать функцию распределения плотности вероятности $f(x,y)$ в этом случае. И таких задач можно наверное напридумывать миллион.
Повторю, это приглашение к конструктивному диалогу на обозначенную тему, а не к перебранке дефинициями.

[pogulyat_vyshel]

Трудно придумать нетривиальную, но все таки не исследовательского уровня, задачу про неинтегрируемую систему. Но можно. И так двойной маятник в поле силы тяжести; невесомые стержни $l_1,l_2$ и точечные массы $m_1,m_2$. Через $\psi_i$ обозначим угол между вертикалью и $l_i$.

Обезразмерим задачу, приняв $g=1,\quad l_1=1,\quad m_1=1$.

Маятник запускают таким образом, что
начальные условия имеют вид $\dot \psi_1\mid_{t=0}=\dot \psi_2\mid_{t=0}=\omega$ и $\psi_1\mid_{t=0}=\psi_2\mid_{t=0}$.

Доказать, что для любого сколь угодно малого $\varepsilon>0$ найдется такое $\Omega>0$, что если $\omega>\Omega$ то при всех $t>0$ будет $|\psi_1(t)-\psi_2(t)|<\varepsilon$ и $|\dot\psi_1(t)-\dot\psi_2(t)|<\varepsilon$

ps На усмотрение модераторов: это может быть даже для математического раздела задача

[wrest]

Анимированная модель двойного маятника, можно задать начальные условия: http://www.math24.ru/%D0%B4%D0%B2%D0%BE ... D0%BA.html

[realeugene]

wrest в сообщении #1245937 писал(а):

Анимированная модель двойного маятника

В этой модели со временем теряется энергия.

[wrest]

realeugene
Да нет, вроде не теряется.

[realeugene]

wrest
Подождите достаточно долго.

[wrest]

realeugene
Я так и делал (несколько минут на полной скорости) но не заметил уменьшения амплитуды.
Поставьте например соотношение масс 1, начальный угол 45 -- тогда маятник качается не хаотически, а почти как обычный одинарный математический маятник.
За 10 минут на максимальной скорости анимации (около 600 периодов) у меня амплитуда не уменьшилась.

Возможно, вам кажется что энергия уходит из-за того, что центр масс очень редко или никогда не поднимается на первоначальную высоту. Я это тоже заметил, и это говорит о том что полная (потенциальная+кинетическая) энергия при "хаотическом" движении в основном сохраняется в кинетической составляющей в отличие от одинарного маятника где она переходит туда-сюда каждый полупериод.

[realeugene]

wrest в сообщении #1246106 писал(а):

Я так и делал (несколько минут на полной скорости) но не заметил уменьшения амплитуды.

Смотреть нужно на высоты подъёма шариков в те моменты, когда они оба останавливаются. Если высоты подъёма обоих шариков ниже высот запуска - то энергия теряется.

Пять минут - мало. А вот по незаметанию достижимой области выше оси, в которой остаются отдельные пики с самого начала, потери энергии, тоже, отлично заметны практически сразу.

[wrest]

realeugene в сообщении #1246115 писал(а):

Смотреть нужно на высоты подъёма шариков в те моменты, когда они оба останавливаются. Если высоты подъёма обоих шариков ниже высот запуска - то энергия теряется.

Да, но на глаз этого не видно (останавливаются, не останавливаются).

realeugene в сообщении #1246115 писал(а):

Пять минут - мало.

Я написал пост, но маятник не остановил. Уже вот полчаса (1800 периодов) -- потери амплитуды нет.

realeugene в сообщении #1246115 писал(а):

А вот по незаметанию достижимой области выше оси, в которой остаются отдельные пики с самого начала, потери энергии, тоже, отлично заметны практически сразу.

Вы, видимо, исходите из того, что нижний шарик должен возвращаться в примерно первоначальное положение (на превоначальную высоту) регулярно. Но модель демонстрирует что этого не происходит, что кинетическая энергия не переходит в потенциальную полностью в "хаотическом" режиме, а в "периодическом" -- при параметрах которые я называл, маятник качается почти как математический очень долго -- ну насколько у меня хватило терпения. Поэтому изначальная задача очень существенным образом зависит от начальных условий, при некоторых начальных условиях возникают устойчивые траектории (как и написано в конце статьи), а при немного других условиях -- сильно отличающиеся, поэтому изначальная задача ТС вряд ли имеет устойчивое решение в общем случае.

[realeugene]

wrest в сообщении #1246128 писал(а):

Вы, видимо, исходите из того, что нижний шарик должен возвращаться в примерно первоначальное положение (на превоначальную высоту) регулярно.

Я исхожу из того, что если в момент остановки обоих шариков оба шарика ниже своего стартового положения, то энергия системы уменьшилась.

Можете не терпеть. Запустите в браузере и сходите пообедать.

Задайте начальное положение 178 градусов. Очень быстро энергия теряется настолько, что шарики перестают подниматься из нижней половины.

Кстати, задачу про двойной маятник можно упростить следующим образом: маятник стартует от верхнего метастабильного положения, найти плотность вероятности встретить дальний шарик в каждой точке круга через большой случайный промежуток времени. Массы и длины заданы. Впрочем, упрощается не сильно.

[wrest]

realeugene в сообщении #1246130 писал(а):

Запустите в браузере и сходите пообедать.

Ну так я его и не останавливал -- он все качается и качается... без потери амплитуды. Вы сами-то как -- запускали надолго?
Параметры я вам приводил: соотношение масс 1, угол отклонения 45.
Может там, конечно, в модели, включаются потери при бОльших углах или скоростях, но вот при этих параметрах -- качается с постоянной амплитудой неограниченно долго (покачто 2 часа, 7200 периодов).

-- 08.09.2017, 14:15 --

realeugene в сообщении #1246130 писал(а):

Задайте начальное положение 178 градусов. Очень быстро энергия теряется настолько, что шарики перестают подниматься из нижней половины.

Это я заметил. Да, перестают. Но в нижней половине характер колебаний не меняется. Тут два объяснения:
1. Так и должно быть.
2. В модели энергия теряется в верхней половине но не в нижней (но это тогда весьма странная модель).

А почему они должны подниматься из нижней половины?

Надо наверное поискать другую модель -- у меня наскоком не вышло загуглить.

[realeugene]

wrest в сообщении #1246137 писал(а):

Так и должно быть.

Нет, так быть не должно. При отношении масс 1.25 и начальном угле 178 градусов оба шарика поднимаются к максимумам одновременно примерно на 22-м максимуме дальнего шарика, и эти максимумы уже на уровне оси. Это потеряна энергия.

wrest в сообщении #1246137 писал(а):

А почему они должны подниматься из нижней половины?

По теореме Лиувилля.

Возможно, у авторов модели сильно возрастают вычислительные ошибки при больших углах. А о сохранении энергии они специально не позаботились. Соответственно, вычислительные ошибки со временем накапливаются. А может быть они, даже, специально ввели небольшое затухание, чтобы в разнос система не пошла, вместо того, чтобы на каждом расчётном шаге просто восстановить начальную энергию. Исходников модели у меня нет.