Интегралы по многообразиям

[kerz-3-06]

Дано многообразие $M^2$ : $y(x^2+y^2) = y+z$; $x^2+y^2<=1$; $n_z>=0$ ($z$-овая координата нормали).
Требуется посчитать интеграл от дифф.формы
$\int \int_{M^2} x dy\wedge dz + z^2dx\wedge dy$

Если мы считаем этот интеграл через какую-то параметризацию, то мы в явном виде можем найти z-вую координату нормали и в зависимости от ее знака понять как считается интеграл(с минусом или плюсом).

А если считать этот интеграл по теореме Стокса, то мы предполагаем, что наше $M^2$ является границей кого-то $M^3$ , в данном случае $y(x^2+y^2) <= y+z$; $x^2+y^2<=1$; (или >= ?), и переходим к интегралу от $dw$ по $M^3$, который просто равен какому-то тройному интегралу. А где в этом методе решения мы должны использовать направление нормали $n_z >= 0 $?

[Brukvalub]

kerz-3-06 писал(а):

А где в этом методе решения мы должны использовать направление нормали $n_z >= 0 $?

В ф-ле Стокса берутся согласованные ориентации многообразия и его края - при согласовании этих ориентаций Вам необходимо знать, как задана ориентация многообразия.

[kerz-3-06]

То есть я правильно понял, что $n_z$ задаем нам ориентацию края? и в задаче получается не хватает данных для решения по т.Стокса?

[Brukvalub]

kerz-3-06 писал(а):

То есть я правильно понял, что $n_z$ задаем нам ориентацию края?

Нет, это задает ориентацию самого многообразия. На краю нужно взять согласованную ориентацию.

[kerz-3-06]

Край имеется ввиду само M^2 ? Когда я считаю интеграл по самому $M^2$ я пишу его параметризацию, беру производные по обоим параметрам и в итоге получаю координаты вектора нормали, выраженные через эти параметры, потом смотрю нужную мне z-вую координату, и есоли она положительна, то считаю дальше с плюсом, если отрицательна то с минусом.

Но когда мы считаем по Стоксу то уже используем ориентацию M^3, с которой и не ясно что делать?!

P.S. скорее всего, я чего-то не допонимаю в теоретическом плане.

[Brukvalub]

Нет, это я не прав! Просто Вы под ф-лой Стокса понимали общий случай, а я сбился на случай двумерной поверхности с одномерным краем, которую обычно и называют в классическом анализе ф-лой Стокса, лишь краем глаза посмотрев на Ваши формулы
Ваш частный случай называется ф-лой Остроградского-Гаусса,когда поверхность является границей трехмерного многообразия, и тогда поверхность должна быть замкнутой и ориентированной внутренней или внешней нормалью.

[kerz-3-06]

У нас это все называют просто Теоремой Стокса. Так вот,после достижения взаимопонимания, возниакют те же вопросы.
1. Как мне понять исходя из условия задачи, внешняя или внутрення у нас нормаль? если внешняя, то значит, что ориентировано положительно, и знак не меняется?

2. Как мне найти само это трехмерное многообразие, зная его границу? Поставить вместо равенства знак $>=$ или $<=$?

[Brukvalub]

kerz-3-06 писал(а):

У нас это все называют просто Теоремой Стокса.

А у нас так принято называть частный случай - поэтому я и сбился, хотя, конечно, знаком с терминологией и для общего случая.

kerz-3-06 писал(а):

1. Как мне понять исходя из условия задачи, внешняя или внутрення у нас нормаль?

kerz-3-06 писал(а):

2. Как мне найти само это трехмерное многообразие, зная его границу?

Я бы попробовал изобразить заданное двумерное многообразие и брать ту его нормаль, которая образует острый угол с осью аппликат. Одновременно Вы сможете понять, границей чего является двумерное многообразие.

[kerz-3-06]

Честно говоря мне довольно сложно изобразить это многообразие, это ж не какой-нить гиперболоид)

Предположим, что я его изобразил(хотя как?!), дальше я просто смотрю куда смотрит нормаль с положительной z-вой координатой?! Если она смотрит внутрь, то считаю интеграл со знаком минус? То есть я пишу, что наш интеграл равен интегралу по $M^3$ от $dw$ или минус этому интегралу?! Если плюс, то где я должен впервые "вставить" этот минус?

И можно ли понять какая нормаль, не исходя из рисунка(рисунок не всегда реально сделать)? Какими-нибудь вычислениями, на подобии тому, что делается для вычисления по $M^2$?

P.S. Извините за такое кол-во вопросов, хочется полностью разобраться..

[Brukvalub]

kerz-3-06 писал(а):

Честно говоря мне довольно сложно изобразить это многообразие, это ж не какой-нить гиперболоид)

Мне - тоже, но я иного пути не вижу .

kerz-3-06 писал(а):

Предположим, что я его изобразил(хотя как?!), дальше я просто смотрю куда смотрит нормаль с положительной z-вой координатой?! Если она смотрит внутрь, то считаю интеграл со знаком минус? То есть я пишу, что наш интеграл равен интегралу по $M^3$ от $dw$ или минус этому интегралу?!

В этом случае перед интегралом ставится знак минус.

kerz-3-06 писал(а):

И можно ли понять какая нормаль, не исходя из рисунка(рисунок не всегда реально сделать)? Какими-нибудь вычислениями, на подобии тому, что делается для вычисления по $M^2$?

В простых случаях можно придумать способ, основанный на вычислениях. В данном случае я такого способа не вижу .

[kerz-3-06]

Спасибо, все стало более менее ясно!

[Gordmit]

Изобразить многообразие гораздо проще, если записать его уравнение в цилиндрических координатах:

$$z=r(r-1)\sin \varphi,\quad r\leqslant 1$$

[kerz-3-06]

Вроде получается $z=r(r^2-1)\sin \varphi$. То етсь получается что $\varphi& \in [0, 2\pi]$ ; ;$0<=r<=1$, а высота такая сказано выше? И как это изобразить?

А вопрос, на самом деле, немного другой. Мы ведь можем, решая по т.Стокса. считать интеграл по границе $M^2$ от формы, производная которой дает нашу форму... Так вот, как можно найти эту форму и как в этом случае быть с направлением нормали и ориентацией?

Добавлено спустя 1 час 49 минут 39 секунд:

Стало ясно, дифференциал нашей формы не ноль, поэтому она не интегрируема..


Тогда еще раз хочется уточнить правильность понимания теории и получить ответы на несколько вопросов:

У нас в условии задачи задана ориентация $M^2$; для применения т.Стокса, необходимо чтобы у $M^3$ и $M^2$ были согласованные ориентации, то есть в данном случае заданная нормаль к $M^2$ должна быть внешней для $M^3$. Если это не так, то формула Стокса будет выглядеть так: $\int \int_{M^2} w = -\int \int \int_{M^3} dw$? Вроде так быть не должно.. Тогда где должен возникнуть минус, если нам надо именно посчитать $\int \int_{M^2} w $, то есть решение должно быть следующего вида: $\int \int_{M^2} w = \int \int \int_{M^3} dw = .. $ ?!

И еще один вопрос. Если бы у нас была в задаче была задана ориентация одномерного многообразия(кстати каким образом ее можно задать?!), которое является границей какого-то $M^2$, то как надо согласовывать ориентации? И, наоборот, если задана ориентация $M^2$ то как ее согласовать с ориентацией его края?

[Brukvalub]

Ответы на Ваши вопросы потянут на маленькую лекцию
Поэтому я лучше отошлю вас к содержанию двух учебников, где все это разобрано буквально "по косточкам":
Спивак М. — Математический анализ на многообразиях
Зорич В.А. — Математический анализ (том 2)

[Gordmit]

kerz-3-06 писал(а):

Вроде получается $z=r(r^2-1)\sin \varphi$. То етсь получается что $\varphi& \in [0, 2\pi]$ ; ;$0<=r<=1$, а высота такая сказано выше? И как это изобразить?

Да, $z=r(r^2-1)\sin\varphi$, опечатался. Лично мне удобно изображать так: фиксируем $\varphi$ (например, $\varphi=\pi/2$), и рисуем кривую в этой полуплоскости. При изменении $\varphi$ кривая будет просто "сплющиваться" (коэффициент "сплющивания" - $\sin\varphi$). Замечаем, что при $\varphi=0,\pi$ будет $z=0$, а при $0<\varphi<\pi$ $z<0$, при $\pi<\varphi<2\pi$ $z>0$. Нарисовать не так уж сложно, ну или просто представить себе, что за поверхность будет. Соответственно, становится ясно, что условие $n_z>0$ задает верхнюю сторону этой поверхности.

А если Вы хотите дополнить поверхность "диском" $r\leqslant 1$, то придется рассмотреть две части исходной поверхности: при $y>0$ и $y<0$. Соответственно, для первого случая надо брать нижнюю сторону полудиска, а для второго - верхнюю, затем можно применять формулу Остроградского-Гаусса для обоих случаев: в первом случае со знаком минус (т.к. сторона получившейся поверхности внутренняя), во втором - плюс (здесь будет внешняя). Ну, и еще не забыть вычесть интегралы по выбранным поверхностям полудисков.