Число, похожее на 10

[Ktina]

Число 10 примечательно, помимо всего прочего, тем, что значение выражения

$$\dfrac{10^k+2}{3}$$

равно некоторому составному числу при любом натуральном $k$.
Между прочим, 10 - наименьшее натуральное число с вышеописанным свойством.

А существует ли такое натуральное $n$, что

$$\dfrac{n^k+1}{2}$$

равно некоторому составному числу при любом натуральном $k$?

[lel0lel]

Ktina в сообщении #1243903 писал(а):

А существует ли такое натуральное $n$, что

$$\dfrac{n^k+1}{2}$$

равно некоторому составному числу при любом натуральном $k$?

Да, так как $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$. Поэтому достаточно, чтобы число $n$ было кубом или другой нечётной степенью.

[Booker48]

lel0lel в сообщении #1243909 писал(а):

Поэтому достаточно, чтобы число $n$ было кубом или другой нечётной степенью.

Ну и само было нечётным.

[Ktina]

lel0lel
Booker48
Большое спасибо!

[maxal]

Ktina в сообщении #1243903 писал(а):

Число 10 примечательно, помимо всего прочего, тем, что значение выражения

$$\dfrac{10^k+2}{3}$$

равно некоторому составному числу при любом натуральном $k$.

В чем сакральный смысл этого утверждения? Все числа получаются четными, а потому составными. Тривиальщина какая-то.

[Ktina]

maxal в сообщении #1244103 писал(а):

В чем сакральный смысл этого утверждения? Все числа получаются четными, а потому составными. Тривиальщина какая-то.

Далеко не сакральный, конечно, но все натуральные числа, меньшие 10, не обладают этим свойством.

[arseniiv]

А все числа, меньшие $((3!)!)! > 10^{1000}$, не обладают свойством быть факториалом факториала факториала второго простого числа. Довольно простая формулировка, число токенов не больше чем в вашей.