Геометрия

[Alexiii]

Пусть А В С D - 4 различные сферы в пространстве.
Положим,что:
1. А пересекается с В по кругу, находящемуся в некой плоскости Р.
2. В и С пересекаются по кругу, находящемуся в некой плоскости Q.
3. С и D пересекаются по кругу, находящемуся в некой плоскости S.
4. D и А пересекаются по кругу, находящемуся в некой плоскости T.
Докажите,что
P Q S T либо парралельны какой-то одной и той же прямой,
либо имеют общую точку.

Всё - пошли решения...

[ewert]

Пусть $\vec r\equiv(x,y,z)$; центры сфер: $\vec r_A,\ \vec r_B,\ \vec r_C,\ \vec r_D$; радиусы: $R_A,\ R_B,\ R_C,\ R_D$. Уравнения плоскостей:

$$\begin{cases} 2\vec r\cdot(\vec r_a-\vec r_b)=R_B^2-R_A^2+|\vec r_a|^2-|\vec r_b|^2\\ 2\vec r\cdot(\vec r_b-\vec r_c)=R_C^2-R_B^2+|\vec r_b|^2-|\vec r_c|^2\\ 2\vec r\cdot(\vec r_c-\vec r_d)=R_D^2-R_C^2+|\vec r_c|^2-|\vec r_d|^2\\ 2\vec r\cdot(\vec r_d-\vec r_a)=R_A^2-R_D^2+|\vec r_d|^2-|\vec r_a|^2 \end{cases}$$

Если какие знаки и перепутал -- не суть; а суть в том, что сложение всех уравнений даёт тождество. Это значит, что ранг расширенной матрицы системы не выше трёх.

Дальше всё зависит от того, лежат ли все четыре центра сфер в одной плоскости. Если лежат, то все плоскости перпендикулярны той, в которой расположены центры и, значит, параллельны нормали к ней. Если не лежат, то нормали к плоскостям некомпланарны и, следовательно, матрица, образованная ими, имеет ранг три. В этом случае ранг основной матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы, т.е. система разрешима.

[TOTAL]

Alexiii писал(а):

P Q S T либо парралельны какой-то одной и той же прямой,
либо имеют общую точку.

Либо и то и другое (т.е эти 4 радикальные плоскости могут пересекаться по одной прямой).
Утверждение следует из определения радикальной плоскости (которую можно строить и для непересекающихся шаров).