Вопросы по дифференциальной геометрии

[misha.physics]

Здравствуйте. Снова появился вопрос из этой темы.
Читаю "Позняк Э. Дифференциальная геометрия: Первое знакомство (1990)".
Пусть $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u,v)$ - векторное уравнение поверхности.
$d^2\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_{uu}du^2+2\boldsymbol{r}_{uv}dudv+\boldsymbol{r}_{vv}dv^2+\boldsymbol{r}_ud^2u+\boldsymbol{r}$_vd^2v.
По определению, $d^2u=d(du)$. Значит, чтобы $d^2u$ не всегда равнялось нулю, $du$ должно быть также функцией $u$ и $v$? $du$ это приращение независимой переменной (аргумента), в каждой точке оно является числом, зависящим от $u$ (и от $v$), правильно? Но как вообще выписать явно выражение $du=f(u,v)$? Просто я ещё такого не видел. Или я сейчас запутался.

И ещё вопрос из раздела диф. геометрии:
Если 1-ую квадратичную форму понять легко (квадрат расстояния между двумя близкими точками поверхности с координатами $M_0(u_0,v_0)$ и $M(u_0+\Delta u,v_0+\Delta v)$), то как понять смысл (наглядно представить) 2-ую квадратичную форму:
$II=(d^2\boldsymbol{r}, \boldsymbol{n})$?

И правильно ли я понимаю, как пользоваться 1-ой квадратичной формой?:
Выбираем любую точку поверхности $M_0(u_0,v_0)$, которой отвечает $\boldsymbol{r_0}=\boldsymbol{r}(u_0,v_0)$. То есть задаем два числа - $u_0$ и $v_0$. Теперь берем близкую к $M_0$ точку $M(u_0+\Delta u,v_0+\Delta v)$ с $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u_0+\Delta u,v_0+\Delta v)$. То есть задаем два числа - $\Delta u$ и $\Delta v$ (или $u$ и $v$, где $u-u_0=\Delta u$,...). Теперь чтобы найти расстояние $ds$ между этими точками:
$ds=I=\sqrt{{(d\boldsymbol{r})}^2}$, где:
${(d\boldsymbol{r})}^2=\boldsymbol{r}_u^2(u_0,v_0)(\Delta u)^2+...$

P.S. Может мне лучше было создать новую тему по вопросам диф. геометрии.

[Metford]

misha.physics в сообщении #1242596 писал(а):

то как понять смысл (наглядно представить) 2-ую квадратичную форму:
$II=(d^2\boldsymbol{r}, \boldsymbol{n})$?

Так это... Разве там не сказано? Вторая квадратичная форма поверхности в некоторой точке описывает отклонение поверхности от касательной плоскости в этой точке. Вы посмотрите ещё раз внимательно на приведённую Вами формулу. А ещё можно повспоминать роль второй производной для функций одной вещественной переменной.

misha.physics в сообщении #1242596 писал(а):

Теперь чтобы найти расстояние $ds$ между этими точками:

Обычно ставят несколько другие вопросы, на которые даётся ответ с помощью первой квадратичной формы. Не расстояние между двумя близкими точками, а длина кривой конечной длины, принадлежащей этой поверхности. Или угол между двумя кривыми, принадлежащими поверхности.

[misha.physics]

Metford, да, начал понимать, что вторая квадратичная форма должна быть связана с кривизной (формой) поверхности. С этим вопросом я поспешил.

Ещё важный для меня вопрос:
Обе квадратичные формы поверхности это числа, которые отвечают каждой точке поверхности. Они являються функциями от $u$ и $v$. Но также зависят и от $du$ и $dv$? Можно ли говорить что квадратичные формы это функции четырех независимых переменных $u, v, du, dv$, и все эти числа мы задаем сами? Коряво немного вышло.

[Metford]

misha.physics в сообщении #1242605 писал(а):

вторая квадратичная форма должна быть связана с кривизной (формой) поверхности

С кривизной, Вы правильно сказали - уточнений здесь не нужно. От второй квадратичной формы один шаг до введения, скажем, гауссовой кривизны поверхности. Справедливости ради нужно заметить, конечно, что гауссова кривизна может быть выражена только через коэффициенты первой квадратичной формы. Но это величина такая хорошая. Та же средняя кривизна или главные кривизны поверхности в точке такими свойствами уже не обладают.

[svv]

(Философия)

Metford в сообщении #1242608 писал(а):

гауссова кривизна может быть выражена только через коэффициенты первой квадратичной формы

Вы замечали, как часто в математике оказывается ключевым понятие, которое определяется через другие понятия, но, как далее выясняется, от них на самом деле не зависит?
Такие понятия, можно сказать, оказываются инвариантнее, чем кажется из определения.

[Metford]

(Философия)

svv в сообщении #1242634 писал(а):

Вы замечали, как часто в математике оказывается ключевым понятие, которое определяется через другие понятия, но, как далее выясняется, от них на самом деле не зависит?
Такие понятия, можно сказать, оказываются инвариантнее, чем кажется из определения.

Да, точно. Очень красивые вещи. Пример гауссовой кривизны меня в своё время просто-таки восхитил (в связи с изгибаниями и т.п.). Впрочем, не меня одного, учитывая название соответствующей теоремы

[misha.physics]

Вот ещё большая проблема для меня:
Пусть задана поверхность $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u,v)$. Выберем на поверхности точку $M_0(u_0, v_0)$. Рассмотрим вектор $d\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_u(u_0, v_0)du+\boldsymbol{r}_v(u_0, v_0)dv$. Этот вектор напрямлен от точки $M_0$ в точку $M(u_0+du, v_0+dv)$.
Но величины $du$ и $dv$ стремяться к нулю, как мы тогда можем рассматривать их как коеффициенты разложения вектора $d\boldsymbol{r}$ по векторам $\boldsymbol{r}_u$ и $\boldsymbol{r}_v$? Ведь получаеться, что мы можем только сказать, что длина вектора $d\boldsymbol{r}$ (расстояния между $M_0$ и $M$) стремиться к нулю, а точка $M$ это любая бесконечно близко удаленная точка от точки $M_0$. Я могу понять когда $du=0$, а $dv$ стремиться к нулю или наоборот. Но как можно сравнивать, что больше $du$ или $dv$...

И ещё уточню предыдущий вопрос:
Правильно ли, что обе квадратичные формы поверхности это скалярные функции от двух бесконечно близких точек поверхности? То есть, функции вида $f(M_1, M_2)$? Но как тогда понять $d^2u$, ведь $du=u_2-u_1$ это задаваемое нами число, и стало быть $d^2u\equiv 0$?

[Metford]

misha.physics в сообщении #1242645 писал(а):

Ведь получаеться, что мы можем только сказать, что длина вектора $d\boldsymbol{r}$ (расстояния между $M_0$ и $M$) стремиться к нулю, а точка $M$ это любая бесконечно близко удаленная точка от точки $M_0$.

Вам, вероятно, было бы полезно вернуться к понятиям производной по направлению и градиента. Получается, что Вы запретили в малой окрестности точки поверхности выделять отдельные направления?

misha.physics в сообщении #1242645 писал(а):

Правильно ли, что обе квадратичные формы поверхности это скалярные функции от двух бесконечно близких точек поверхности?

Почему от двух? Форма сопоставляет вектору число. Так вот скажите, какому именно вектору сопоставляется число?

[kp9r4d]

Я понимаю, что у физиков своя атмосфера, но всё же совсем чуть-чуть влезу.

misha.physics в сообщении #1242645 писал(а):

Но величины $du$ и $dv$ стремяться к нулю, как мы тогда можем рассматривать их как коеффициенты разложения вектора $d\boldsymbol{r}$ по векторам $\boldsymbol{r}_u$ и $\boldsymbol{r}_v$?

$du$ и $dv$ это ковектора, т.е. линейные функционалы проектирующие вектор вдоль $u$ и вдоль $v$. Вспомните формулу
$df = \frac{\partial f}{\partial x_1} dx_1 + ... + \frac{\partial f}{\partial x_n} dx_n$ из анализа многих переменных. Что она говорит? Что линейный функционал максимально приближающий $f$ в данной точке выглядит как то, что справа. А справа что? Справа умножение некоторых чисел на $dx_i$ а что такое $dx_i$? Это линейные функционалы которые берут вектор и возвращают его $i$-ую координату. Мне кажется в таких терминах мыслить очень удобно.


-- 23.08.2017, 23:16 --

(Оффтоп)

svv в сообщении #1242634 писал(а):

Вы замечали, как часто в математике оказывается ключевым понятие, которое определяется через другие понятия, но, как далее выясняется, от них на самом деле не зависит?
Такие понятия, можно сказать, оказываются инвариантнее, чем кажется из определения.

Так это из-за неправильных определений, инвариантность кривизны следует из фундаментальных уравнений Гаусса-Веингартена, а они просто следуют из общего вида метрической связности на сумме двух расслоений. ^^

[Walker_XXI]

kp9r4d в сообщении #1242658 писал(а):

Мне кажется в таких терминах мыслить очень удобно

Полностью с Вами согласен, потому что автор вопроса всё время выбирает такую точку зрения (усугубляя её неверными определениями и утверждениями), которая приводит к абсурду.

misha.physics, мне показалась, у Вас тенденция путать функцию и значение функции в точке (ну и другие аналогичные вещи). Отсюда и недопонимание. $du$ - это не число, а дифференциал (вспомните самый первый вопрос темы: числом является значение производной в точке) - простейшего вида дифференциальная форма, линейный функционал на векторном пространстве (см. ответ kp9r4d).

Не знаю, где у Позняка будут рассматриваться касательные и кокасательные пространства, но, возможно, для лучшего понимания вопроса с формами Вам стоит забежать вперёд, понять, на вектора какого векторного пространства действуют формы, посмотреть про касательные расслоения.

[misha.physics]

Спасибо всем за ответы.

Metford, я понимал так:
Форма $I=(d\boldsymbol{r})^2$, где
$d\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_u(u,v)du+\boldsymbol{r}_v(u,v)dv$.
Эта форма каждой точке $M(u, v)$ сопоставляет число $I$. В этой точке вычисляються $\boldsymbol{r}_u$ и $r_v$. Но в эту форму кроме $u$ и $v$ входят ещё $du$ и $dv$. А $du+u$ и $dv+v$ задают близкую точку $M'$. Вот у меня и получилось что квадратичная форма зависит от двух точек.
Не знаю, может пока это оставить, а понимание придет потом...

[Metford]

Нет-нет. С этим лучше было давно разобраться. Не именно с первой формой поверхности, а с путаницей, которая у Вас есть. Понимаете, форма задаётся своими коэффициентами, которые привязаны к определённой точке поверхности. Т.е. эта точка - не аргумент. Как пример, вот есть у Вас функция. У неё, допустим, есть производная в некоторой точке. Если же Вы захотите узнать приращение функции в этой точке, то производная всегда одна и та же, а приращение функции будет зависеть от приращения аргумента.

[misha.physics]

Metford, значит каждой точке $M_0(u_0,v_0)$ поверхности отвечает 1-ая форма $I=\boldsymbol{r_u}(u_0,v_0)du+\boldsymbol{r_v}(u_0,v_0)dv$, которая являеться функцией двух аргументов $du$ и $dv$.

[kp9r4d]

$I=\boldsymbol{r_{uu}}(u_0,v_0)du^2 +\boldsymbol{r_{uv}}(u_0,v_0) du dv +\boldsymbol{r_{vv}}(u_0,v_0)dv^2$ скорее.

[Walker_XXI]

misha.physics в сообщении #1242596 писал(а):

$du$ это приращение независимой переменной (аргумента), в каждой точке оно является числом, зависящим от $u$ (и от $v$), правильно? Но как вообще выписать явно выражение $du=f(u,v)$? Просто я ещё такого не видел. Или я сейчас запутался.

Запутались. Если $du$ - это приращение независимой переменной, то от $v$ оно не зависит. Ну и от $u$ тоже, поскольку это бесконечно малое приращение. Но оно может зависеть от переменных $x$ и $y$, задающих другую параметризацию поверхности $M$, и тогда $du = u_x(x,y)\, dx + u_y(x,y)\, dy$.