Про векторы, тензоры, ЭМ поле и третий закон Ньютона

[specialist]

Здравствуйте, у меня несколько вопросов:
Первый: Вот есть у нас уравнения Максвелла:
$ [ \nabla , \bar{H}]=\gamma \bar{E} + \frac{\partial \bar{D} }{\partial t} $
$ [ \nabla , \bar{E}]=- \frac{\partial \bar{B} }{\partial t} $
$ \langle \nabla , \bar{B} \rangle=0 $
$ \langle \nabla , \bar{D} \rangle=\rho $
и с ними все здорово и замечательно, но если их разобрать по компонентам и собрать в тензорном варианте то выйдет:
$ F_{\alpha \beta , \gamma} + F_{\beta \gamma , \alpha} + F_{\gamma \alpha , \beta} = 0$
$ F^{\alpha \beta}_{, \beta} = \mu_0 J^\alpha $
Первый вопрос:
Понятно определенная формулировка используется в зависимости от поставленной задачи. Вопрос вот в чем: меня смущает что если мы в тензорах и формах, электромагнитное поле - объект тензорный $ F_{\alpha \beta}$, и ясно что компоненты тензора преобразуются из одно СО в другую СО как тензоры, с учетом постоянства определенных инвариантов. А если мы возьмем учебник попроще, то электромагнитное поле представлено уже как конгломерат электрического и магнитного поля по отдельности, понятно что так удобно для расчетов определенных задач.
Вот что мне не понято, ЭМ поле тензорное, но есть парочка инвариантов, которые создают исключения в преобразованиях между СО... каким образом тензорное поле превращается (легким движением) в два векторных?
намеки на решение:
Тензорно, $ F_{\alpha \beta}$ не сворачивается в два отдельных вектора, ну или мне скилла не хватает, потом с этим разделением на два векторных поля связаны как то инварианты, но опять же увидеть глубинный смысл скилла не хватает.
Второй вопрос:
В электротехнике, тоэ, да даже институтской и школьной физике, говорят что ток это вектор. Собственно согласно определению плотности тока
$ i= \int_{s} \langle \bar{J} , d\bar{S} \rangle $ ток текущий в проводнике это скаляр, как ни крути, как и напряжение:
$ u= \int_{l} \langle \bar{E} , d\bar{L} \rangle $.
Так вот, с напряжением все понятно, но ток это направленное движение заряженных частиц... Значит это определение больше про плотность тока чем про ток. И то что нам на ТОЭ говорили что ток это вектор это не верно? или они имели что вот это $ i= \int_{s} \langle \bar{J} , d\bar{S} \rangle $ - только модуль вектора, а сам вектор $ \bar{i}= \int_{s} \langle \bar{J} , d\bar{S} \rangle \bar{r} $, где $ \bar{r} $ - единичный вектор?
Ну и третий вопрос:
Не раз читал на этом форуме, что вроде как уравнения Максвелла нарушают третий закон Ньютона. Тут я так и не понял с какой стороны подходить, ясно что тут скорее всего о силе Лоренца, о том как поле воздействует на заряженные тела или движущиеся, но как правильно интерпретировать так чтобы 3 закон Ньютона нарушился я не знаю.
да четвертый вопрос:
Природа силы Ампера - релятивистская? просто если написать $ \bar{F} = q [ \bar{v} , \bar{B}] $, возникает соблазн что $ [ \bar{v} , \bar{B}] $ - это электрическое поле просто в другой СО. Ну вообще я наверно не прав, но ваше подтверждение не помешало бы.
да совсем забыл, пятый вопрос:
$ F_{\alpha \beta}$ - в разных книжках видел его по разному заполняют, в смысле только напряженностями, или только индукциями, или их помесью, что есть правда? есть ли утвержденная форма заполнения тензора, так сказать стандартная. Где её принимали, что об этом почитать в контексте вопроса?

[Alex-Yu]

specialist в сообщении #1242753 писал(а):

Вот что мне не понято, ЭМ поле тензорное, но есть парочка инвариантов, которые создают исключения в преобразованиях между СО... каким образом тензорное поле превращается (легким движением) в два векторных?

Инварианты тут ни при чем, а существо дела простое. Во-первых, что такое тензоры и, в частности, векторы. Это величины определенным образом преобразующиеся при преобразовании системы координат. На более математическом языке это величины, задающие базис представления некоторой группы (преобразований). Так вот, если взять преобразования группы Лоренца, то $E_i$ и $H_i$ --- это ни в коем случае не векторы, в группе Лоренца вообще нет 3-векторов, есть только 4-векторы. В этом случае электрическое и магнитное поле --- компоненты 4-тензора второго ранга. Но, если не брать все преобразования группы Лоренца, взять только трехмерные вращения, то можно показать (вообще-то это почти очевидно), что эти компоненты преобразуются как 3-векторы. Так что электрическое и магнитное поля есть векторы ПО ОТНОШЕНИЮ К ТРЕХМЕРНЫМ ВРАЩЕНИЯМ. И вовсе не векторы по отношению ко всей группе Лоренца. Вообще говорить, что есть вектор, а что не вектор, имеет смысл ТОЛЬКО по отношению к некой группе преобразований. Если можно так сказать, "вектор сам по себе" (безотносительно к группе преобразований) --- это вообще бессмыслица. Тензор точно также. Да и скаляр тоже.

[Munin]

specialist в сообщении #1242753 писал(а):

Вот что мне не понято, ЭМ поле тензорное, но есть парочка инвариантов, которые создают исключения в преобразованиях между СО... каким образом тензорное поле превращается (легким движением) в два векторных?

А вы "учебник посложнее" внимательно читали? Это обычно объясняется очень тщательно в тот момент, когда вводится тензор электромагнитного поля.

Главный намёк - это то, что разделение на два векторных поля зависит от системы отсчёта наблюдателя. Тогда введём 4-вектор скорости системы отсчёта наблюдателя: $u^\mu.$ Тогда можно свернуть его с тензором поля:

$E_\nu=F_{\mu\nu}u^\nu$
$B_\rho=\tfrac{1}{2}\varepsilon_{\lambda\mu\nu\rho}F^{\lambda\mu}u^\nu.$

specialist в сообщении #1242753 писал(а):

В электротехнике, тоэ, да даже институтской и школьной физике, говорят что ток это вектор. Собственно согласно определению плотности тока
$ i= \int_{s} \langle \bar{J} , d\bar{S} \rangle $ ток текущий в проводнике это скаляр, как ни крути

Здесь просто вольность речи. Есть величина тока (по вашей формуле), а есть вектор плотности тока. Его тоже часто жаргонно называют "ток". Достаточно привыкнуть, и никогда не будет путаницы.

specialist в сообщении #1242753 писал(а):

Не раз читал на этом форуме, что вроде как уравнения Максвелла нарушают третий закон Ньютона. Тут я так и не понял с какой стороны подходить, ясно что тут скорее всего о силе Лоренца, о том как поле воздействует на заряженные тела или движущиеся, но как правильно интерпретировать так чтобы 3 закон Ньютона нарушился я не знаю.

Можно рассмотреть два заряда, движущихся в перпендикулярных направлениях (как буква Т), и посчитать их силы друг на друга.

Также см. Фейнмановские лекции по физике.

specialist в сообщении #1242753 писал(а):

Природа силы Ампера - релятивистская?

Разумеется. 4-сила на частицу $q F_{\mu\nu}u^\nu.$

[Alex-Yu]

specialist в сообщении #1242753 писал(а):

Природа силы Ампера - релятивистская? просто если написать $ \bar{F} = q [ \bar{v} , \bar{B}] $, возникает соблазн что $ [ \bar{v} , \bar{B}] $ - это электрическое поле просто в другой СО. Ну вообще я наверно не прав, но ваше подтверждение не помешало бы.

Ну почему неправ, так и есть: это электрическое поле в другой СО. При переходе между движущимися друг относительно друга СО электрическое и магнитное поле НЕ ПРЕОБРАЗУЮТСЯ как векторы, они вообще в ТАКОМ контексте не являются векторами. Только по отношению к 3-вращениям!

[kolas]

specialist в сообщении #1242753 писал(а):

Природа силы Ампера - релятивистская?

Да, несомненно релятивисткая!

[Metford]

Не знаю, насколько это поможет ТС, но можно сослаться на то, что частица со спином 1 (а таковой фотон - квант электромагнитного поля) "содержится" в двух представлениях группы Лоренца: $(1/2,1/2)$ и $(1,0)\oplus (0,1)$. Первое приводит к 4-потенциалу поля, а оттуда к физическим полям (ну или просто через тензорное представление), второе - к шестикомпонентной величине со своими правилами преобразования, которые в точности воспроизводят закон преобразования физических полей. Я в своё время этим упражнением поразвлекался - мне понравилось.

[kolas]

Если на пальцах, то можно себе представить притяжение двух параллельных проводов силой Ампера как то так, но пусть меня поправят:
Представим, что мы электроны в проводнике и течем вперед. Параллельно нам, в ту же сторону, ну и для простоты, с той же скоростью, текут электроны в параллельном проводнике. Но в то же время, на встречу нам текут положительные ионы атомов проводника, как в нашем проводе, так и в соседнем. Из за лоренцева сокращения, плотность движущихся положительных ионов в соседнем проводнике будет выше, чем для неподвижных, а плотность электронов не изменится, и мы имеем положительную прибавку к электрическому полю "нейтрального" проводника, т.е. имеем притяжение. Аналогичный механизм с отталкиванием.