Теорема Ферма для четных степеней

[Sender]

Но ведь там совсем другое написано. Если $x^{a \cdot n}+y^{a \cdot n}=z^{a \cdot n}$ имеет целочисленное решение $(x,y,z)$, то $x^n+y^n=z^n$ будет иметь решение $(x^a, y^a, z^a)$.
Применительно к нашему примеру, если $x^2+y^2=z^2$ имеет решение $(3,4,5)$, то уравнение $x+y=z$ имеет решение $(3^2,4^2,5^2).$

[grizzly]

atlakatl в сообщении #1242134 писал(а):

Для $n=4$ есть простое решение, оставленное самим Ферма.

Приостановитесь чуть-чуть. Это у Вас совсем где-то линки сбились. Нет никаких решений для $n=4$ и Ферма действительно это доказал достаточно просто.

[Mikhail_K]

atlakatl в сообщении #1242148 писал(а):

Вот тезис из Постников М.М. "Теорема Ферма", 1978:

Вам не стоило говорить тогда

atlakatl в сообщении #1242104 писал(а):

Если $x^{a \cdot n}+y^{a \cdot n}=z^{a \cdot n}$ имеет решение, то будет верным и $x^n+y^n=z^n$ при той же тройке $(x, y, z)$.

Тройка во втором случае другая: $(x^a,y^a,z^a)$.

Кроме того, посмотрите внимательнее что здесь утверждается: если решение для степени $an$ есть, то оно есть и для степени $n$. (Эквивалентно, если решений для степени $n$ нет, то их нет и для степени $an$.) Здесь не утверждается, что из отсутствия решений для степени $an$ следует отсутствие решений для степени $n$.

[Someone]

atlakatl в сообщении #1242104 писал(а):

Если $x^{a \cdot n}+y^{a \cdot n}=z^{a \cdot n}$ имеет решение, то будет верным и $x^n+y^n=z^n$ при той же тройке $(x, y, z)$.
Таким образом, доказав несуществование решений при чётных показателях, vmh доказал ВТФ и в общем виде.

atlakatl в сообщении #1242148 писал(а):

Вот тезис из Постников М.М. "Теорема Ферма", 1978

Там же не сказано "при той же тройке". Наоборот, там явно указана другая тройка.
И, кстати, именно на этом основано утверждение, что теорему Ферма достаточно доказать для нечётных простых показателей и для четвёртой степени.

atlakatl в сообщении #1242134 писал(а):

Берём $n=6$, доказываем по vmh, что для него нет ни одной тройки $(x, y, z)$ - и мы в дамках. Отсюда следует, что что нет и ни одной такой тройки и для $n=3$.

А вот это неверно. Уравнение нечётной степени может иметь решение, в котором числа не являются квадратами.

[atlakatl]

Да, про ту же тройку я тупанул, извиняюсь.

Someone в сообщении #1242158 писал(а):

Уравнение нечётной степени может иметь решение, в котором числа не являются квадратами.

И что? Делаем из этой тройки $(x^2, y^2, z^2)$ - и получаем решение при $n=6$.

[Sender]

atlakatl в сообщении #1242160 писал(а):

И что? Делаем из этой тройки $(x^2, y^2, z^2)$ - и получаем решение при $n=6$.

Нет, не получаем. Если $(x,y,z)$ - нетривиальное (даже не обязательно целочисленное) решение уравнения $x^3+y^3=z^3$, то заведомо $x^6+y^6<z^6$.

[atlakatl]

Sender
Someone
Mikhail_K
grizzly
Дошло. Всем спасибо.