2017 участников в конференции

[daogiauvang]

В конференции участвуют 2017 человек. При этом в каждой группе 7 человек существует не более 12 отношений знакомства. Сколько максимально количество отношений знакомств?

[DeBill]

Покажем, что число ребер $R$ не превышает $\left\lfloor\frac{n^2}{4} \right\rfloor$ (достигается для двудольного графа с (почти) равными долями).
Индукция по $n$ (база $n=7$):
Пусть $m$ - наименьшая степень вершин.
Тогда $R \geqslant \frac{mn}{2}$, так что $m\leqslant \frac{2R}{n}$.
Удаляя вершину минимальной степени, по предположению индукции имеем:
$R\leqslant m+ \frac{(n-1)^2}{4}\leqslant \frac{2R}{n} +\frac{(n-1)^2}{4}$, откуда
$R \leqslant \frac{n\cdot(n-1)^2}{4(n-2)} = \frac{n^2}{4}+ \frac{n}{4(n-2)}$
При $n>7$ последнее слагаемое меньше половинки, так что при четных $n$ его можно отбросить, а при нечетных $n$ его тоже можно отбросить, ибо дробная часть у первого слагаемого равна тут одной четверти.
Ответ: $1008\cdot 1009$

[Iam]

DeBill , все четко и замечательно - без вопросов (как всегда).
Смысл задачи тоже понятен, но в ее постановке ощущается корявость, вызывающая сильный дискомфорт. Что имеется в виду под «отношением знакомства»? Симметричное и рефлексивное отношение? Или только симметричное? Ну ладно, тут еще можно догадаться исключить случаи, когда участники не знакомы сами с собой. Правда дотошный школьник или студент от такой задачки может впасть в ступор, поскольку в учебной литературе отношение толерантности зачастую интерпретируется отношением знакомства, которое в этом случае полагается рефлексивным.
А как быть с «количеством отношений»? Оказывается, автор задачи под этим понимает количество (неупорядоченных) пар различных участников конференции, т.е одно отношение с заданными свойствами.
По-видимому, задачи для испытания учащихся, по результатам которых делаются важные для испытуемых выводы, должны формулироваться не тяп-ляп, а более тщательно.