Инвариантное вычисление $\operatorname{div}(X \otimes Y)$

[kp9r4d]

Легко вычислить $\operatorname{div} (X \wedge Y)$ используя определение $\operatorname{div}(X) = (\delta(X^\flat))^\sharp$ и примитивные тождества, которые содержат значки $\star,d,\delta,\wedge,\sharp,\flat$, но можно ли то же самое проедлать с $\operatorname{div}(X \otimes Y)$? Это выглядит намного сложнее (если вообще осмысленно), ведь кодифференциал $\delta$ вообще говоря не определён на произвольном элементе $\Gamma^\infty(T^{*k} M)$. Как быть?

[svv]

Ну, допустим, не получится. Тогда определим
$\operatorname{div}(X\otimes Y)=X\operatorname{div}(Y)+\operatorname{div}(X) Y$
(справа в первом слагаемом векторное поле просто умножается на скалярную функцию)

[kp9r4d]

Ну да, но интересна всё же общая ситуация, но видимо это означает научиться дифференцировать значком $d$ любые $k$-формы, не обязательно дифференциальные, что малоосмысленно.

Да и если $X$ и $Y$ это $k$-тензорные поля, а не просто векторные, то ваше доопределение не должно работать, что расстраивает немного.

[svv]

Да. И это не соответствует той дивергенции, что определяется через ковариантное дифференцирование:
$(A^i B^k)_{;k}=A^i{}_{;k} B^k+A^i B^k{}_{;k}$
Здесь только второе слагаемое имеет вид «одно векторное поле на дивергенцию второго».

-- Вт авг 15, 2017 21:54:56 --

И вообще, «наша» дивергенция зависит от связности.

[kp9r4d]

А, ну да, с ковариантной производной-то понятно как на тензорное произведение продолжать.

[svv]

Тензорное поле $\textsf S$ типа $(2,0)$ отображает пару ковекторных полей $\alpha$ и $\beta$ в скалярную функцию $f$:
$\textsf S(\alpha, \beta)=f$
Поле $\nabla_X \textsf S$ того же типа. Так как ковариантная производная линейна относительно $X$, можно определить тензорное поле $\nabla \textsf S$ типа $(2,1)$ так, чтобы
$(\nabla \textsf S)(\alpha, \beta; X)=(\nabla_X \textsf S)(\alpha, \beta)$
Чтобы получить векторное поле $\operatorname{div} \textsf S$, нужно свернуть $\nabla \textsf S$ по паре аргументов, векторному и ковекторному. Сделать это можно двумя способами:
$(\nabla \textsf S)(dx^k, \alpha; \frac{\partial}{\partial x^k})$ и $(\nabla \textsf S)(\alpha, dx^k; \frac{\partial}{\partial x^k})$
Эти способы равно мотивированны, а в приложениях лишь по традиции один предпочитается другому.

В случае индексной записи можно сказать просто «индекс дифференцирования можно свернуть с любым из контравариантных индексов тензора, получая разные результаты».

[kp9r4d]

(Оффтоп)

Если что, это был не сарказм, мне правда было понятно з:

[svv]

(Оффтоп)

Иногда так хочется порассуждать вслух.
Может, кто-то ещё прочитает.