Дивергенция тензора.

[Firth]

Здравствуйте. У меня такой вопрос правильно ли я рассписываю некоторое выражение, к сожалению, я не очень уверен в своих знаниях.

$$\nabla \cdot (\rho\cdot(\vec{v}\vec{v}))$$

Соостветственно тут ($\vec{v}\vec{v}$) - тензорное произведение, кажется оно еще называется внешним, в результате дает тензор. Могу ли я сделать так:

$$\nabla \cdot ((\rho\cdot\vec{v})\vec{v})$$

Поидее тензор останется тем же самым, и к нему можно будет применить такую вот формулу:

$$\operatorname{div}(\vec{a}\otimes\vec{b})=(\vec{a}\cdot\nabla)\vec{b}+\vec{b}\operatorname{div}(\vec{a})$$

Меня эта запись смущает, я попытаюсь тут сейчас аккуратно расписать:

$$(\vec{a}\cdot\nabla) = a_x\cdot\frac{\partial}{\partial x} + a_y\cdot\frac{\partial}{\partial y} + a_z\cdot\frac{\partial}{\partial z}$$

ну судя по тому, что оператор стоит справа то он не действует на поле, а в результате получится вот такой вот скаляр, верно?

Далее он действует на вектор $\vec{b}$ тогда получается:

$$\begin{pmatrix} a_x\cdot\frac{\partial b_x }{\partial x} + a_y\cdot\frac{\partial b_x}{\partial y} + a_z\cdot\frac{\partial b_x}{\partial z}\\ a_x\cdot\frac{\partial b_y }{\partial x} + a_y\cdot\frac{\partial b_y}{\partial y} + a_z\cdot\frac{\partial b_y}{\partial z}\\ a_x\cdot\frac{\partial b_z }{\partial x} + a_y\cdot\frac{\partial b_z}{\partial y} + a_z\cdot\frac{\partial b_z}{\partial z}\\ \end{pmatrix} $$

Если вернуть исходные обозначения то получится следующее:

$$ \begin{pmatrix} \rho v_x\cdot\frac{\partial v_x }{\partial x} +\rho v_y\cdot\frac{\partial v_x}{\partial y} +\rho v_z\cdot\frac{\partial v_x}{\partial z}\\ \rho v_x\cdot\frac{\partial v_y }{\partial x} + \rho v_y\cdot\frac{\partial v_y}{\partial y} + \rho v_z\cdot\frac{\partial v_y}{\partial z}\\ \rho v_x\cdot\frac{\partial v_z }{\partial x} + \rho v_y\cdot\frac{\partial v_z}{\partial y} + \rho v_z\cdot\frac{\partial v_z}{\partial z}\\ \end{pmatrix} $$

Верно?

теперь второе слагаемое:

$$\vec{b}\operatorname{div}(\vec{a}) = \vec{v} \cdot (\rho \operatorname{div}(\vec{v})+\vec{v}\cdot\operatorname{grad}(\rho)) $$

Итого:

$$\nabla \cdot (\rho\cdot(\vec{v}\vec{v})) =((\vec{\rho v}\cdot\nabla)\vec{v}) + \vec{v} \cdot (\rho \operatorname{div}(\vec{v})+\vec{v}\cdot\operatorname{grad}(\rho)) $$

Я нигде не напутал?

[arseniiv]

Firth в сообщении #1240857 писал(а):

тензорное произведение, кажется оно еще называется внешним

Внешнее — другое.

Вообще знаки операций тензорного или внешнего произведения обычно не опускаются, чтобы путаницы было меньше.

Дальше, если дивергенцию (тензора, не являющегося вектором) попробовать понимать как формальное скалярное произведение $\nabla$ на операнд, непонятно, как вы определили это произведение для вектора $u$ и тензора второго ранга $T$, тут может быть две возможности, видимые, если попробовать записать в индексах: $g_{ij}u^iT^{jk}$ и $g_{ij}u^iT^{kj}$. В первом случае, если учесть $T^{ij} = \rho v^iv^j$, получаем

$$g_{ij}\partial^i(\rho v^jv^k) = g_{ij}(v^jv^k \,\partial^i\rho + \rho v^k \,\partial^iv^j + \rho v^j \,\partial^iv^k) = (\mathbf v\cdot\operatorname{grad}\rho)\mathbf v + \rho\mathbf v(\operatorname{div}\mathbf v) + \rho(\mathbf v\cdot\nabla)\mathbf v$$

(т. е. вы забыли $\mathbf v$ в самом конце). Во втором случае получится то же самое лишь из-за симметричности $T$.

[Slav-27]

Если вы хотите посчитать что-то про тензоры, но подозреваете у себя недостаток научных знаний -- считайте в координатах.

По поводу обозначений: точкой удобно обозначать свёртку, а если свёртки нет, то точку не писать. Тензорное произведение при этом обозначается $\otimes$, а умножение тензора на скаляр -- пустым знаком, причём в этом случае скалярный множитель обычно пишут слева от тензорного.

Расписываем исходное, то есть, немного поправляя ваши обозначения, $\nabla \cdot (\rho \, v \otimes v)$. По какому индексу тут свёртка, по первому или по второму, из обозначений неясно, но тензор симметрический, так что это всё равно. Будем считать, что свёртка по второму:
$(\rho v^i v^j)_{,j}=\rho_{,j}v^i v^j+\rho v^i_{,j}v^j+\rho v^i v^j_{,j}$.

Расписываем то, что у вас получилось; подправляя обозначения, это $\big(\rho \, (v\cdot\nabla)\big)\,v+\big(\rho\,(\nabla\cdot v)+v\cdot(\nabla\rho)\big)\,v$. Получаем:
$\rho v^j v^i_{,j}+\rho v^j_{,j}v^i + v^j\rho_{,j}v^i$.

Получилось то же самое. Значит, вы посчитали правильно.

[arseniiv]

Ой, я скобку не разглядел. Действительно, там никаких $\mathbf v$ не потеряно.

[Firth]

Спасибо большое за ответы.

[kp9r4d]

(Оффтоп)

Блин, всю жизнь думал, что при помощи музыкальных изоморфизмов кодифференциал с комплекса де Рама превращается в $\operatorname{div}$ на комплексе мультивекторных полей, а сейчас что-то не соображу - как это можно взять кодифференциал от чего-то, что не является дифференциальной формой, а является просто формой?

А, понял, превращается в оператор на $k$-векторах в смысле сечениях $k$-ой внешней (не тензорной) степени касательного расслоения. А жаль.