Помогите найти решение Диффура

[uniq]

Здравствуйте, коллеги.
Подскажите общее решение уравнения: $(a+b\cdot x)\cdot\ddot{Y} + c\cdot \dot{Y} + Y = 0, \quad Y=Y(x)$
Искал решение по нету, но есть - только с постоянными коэффициентами, т.е. если бы $b=0$.
В моей задаче $b\cdot x << a$ на любом интервале - может это оказаться важным при решении. Заранее благодарю!

[пианист]

Замена $\dot{Y} = uY$ (т.к. инвариантно относительно растяжений $Y$), получается уравнения Риккати.

[svv]

Сделайте замену независимой переменной $a+bx=t, \;Y(x)=y(t)$. Приведите коэффициент при $ty''$ к $1$. Домножьте всё на «лишнее» $t$.
Откройте Камке, Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. То, что получилось — частный случай уравнения 2.162(1a), стр. 401. В решение входят цилиндрические функции.

[uniq]

svv в сообщении #1240813 писал(а):

Сделайте замену независимой переменной $a+bx=t, \;Y(x)=y(t)$. Приведите коэффициент при $ty''$ к $1$. Домножьте всё на «лишнее» $t$.
Откройте Камке, Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. То, что получилось — частный случай уравнения 2.162(1a), стр. 401. В решение входят цилиндрические функции.

Благодаря подсказке и подстановке нашёл такое решение http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0206.pdf
Спасибо!

[svv]

Да, всё правильно.
Жаль только, порядок цилиндрических функций нецелый.

[Singular]

Порядок цилиндрических функций будет $\pm\left(1-\frac{c}{b}\right)$, но, справедливости ради, следует отметить, что ТС про $b$ и $c$ ничего не написал. Так что, не исключено, что может быть целый порядок.

[uniq]

Singular в сообщении #1240940 писал(а):

Порядок цилиндрических функций будет $\pm\left(1-\frac{c}{b}\right)$, но, справедливости ради, следует отметить, что ТС про $b$ и $c$ ничего не написал. Так что, не исключено, что может быть целый порядок.

Параллельно появилась ещё одна похожая задача, но с одним важным отличием: $(a+b\cdot Y)\cdot\ddot{Y} + c\cdot \dot{Y} + Y = 0$
Здесь $b<<a, b<<c$. С какого края здесь копать - даже не представляю. Есть ли аналитическое решение такого диффура в принципе?

[dsge]

uniq в сообщении #1240999 писал(а):

Здесь $b<<a, b<<c$.

Из такого условия напрашивается разложить решение по малому параметру $\frac{b}{a}$ или $\frac{ b}{c}$.