Вопрос про пересечение множеств окрестности предельной точки

[permutation]

Цитата:

If $p$ is a limit point of a subset $E$ of a metric space $X,$ then for any $r > 0, N_r(p)$ contains infinitely many points of $E.$

Докaзательство теоремы выше дано ниже. Мой вопрос про $N_h(p) \cap Q.$ Я думаю $N_h(p) \cap Q = N_h(p) - \{p\} = \{\}$ потому что $N_h(p) = \{p\}$ поскольку $0 < h < $ наименьшой дистанций от $p$ до точки в $Q.$ Но правильно ли это? А если да, то не существуют ли точки в радиусе $h?$ Если все это совершенно не правильно, чему может равняться $N_h(p) \cap Q?$

[Slav-27]

permutation в сообщении #1240404 писал(а):

правильно ли это?

По-видимому, правильно, и доказательство вы написали. В чём у вас сомнения?

(Оффтоп)

И нельзя ли поинтересоваться источником этого текста?

UPD: не, неправильно. Вот здесь:

permutation в сообщении #1240404 писал(а):

$N_h(p) = \{p\}$

-- 13.08.2017, 22:00 --

UPD 2:

permutation в сообщении #1240404 писал(а):

$N_h(p) \cap Q = N_h(p) - \{p\} = \{\}$

И вот это тоже неправильно, причём оба равенства.

И ещё неправильно, что вы не написали, какие буковки что обозначают, заставляя тем самым читателей угадывать. Я предполагал, что $N_r(p)$ значит открытый шар с центром $p$ радиуса $r$, а $d$ -- это метрика. Правильно?

[permutation]

Slav-27 писал(а):

(Оффтоп)

И нельзя ли поинтересоваться источником этого текста?

UPD: не, неправильно. Вот здесь:

permutation в сообщении #1240404 писал(а):

$N_h(p) = \{p\}$

UPD 2:

permutation в сообщении #1240404 писал(а):

$N_h(p) \cap Q = N_h(p) - \{p\} = \{\}$

И вот это тоже неправильно, причём оба равенства.


И ещё неправильно, что вы не написали, какие буковки что обозначают, заставляя тем самым читателей угадывать. Я предполагал, что $N_r(p)$ значит открытый шар с центром $p$ радиуса $r$, а $d$ -- это метрика. Правильно?

Точка $p$ есть предельная точка $E \subset X$ где $X$ метрическое пространство. $N_r(p)$ - окрестность точки $p$.

$N_h(p) - \{p\} = \emptyset$ потому что $h < d \in D,$ но поскольку $h > 0,$ не значит ли это, что точки в радиусе $h$ находятся в $N_h(p) - \{p\}?$

(Оффтоп)

Источник: The Real Analysis Lifesaver: All the Tools You Need to Understand Proofs by Raffi Grinberg

[Slav-27]

Тогда вот это

permutation в сообщении #1240412 писал(а):

$N_h(p) - \{p\} = \emptyset$

вообще говоря, неверно: почему это в вашем пространстве нету ни одной точки (кроме $p$), удалённой от $p$ менее чем на $h$?

[permutation]

Slav-27 писал(а):

вообще говоря, неверно: почему это в вашем пространстве нету ни одной точки (кроме $p$), удалённой от $p$ менее чем на $h$?

Я также думаю Тогда как $N_h(p) - \{p\}$ (если $N_h(p) \cap Q = N_h(p) - \{p\}$) доказывает существование окрестности $p$ без единой точки $E$ (не считая $p$)?

[NDP]

Скажите, а вы пробелы все заполнили? Let $h=\frac 12...$ чего?

[permutation]

NDP в сообщении #1240427 писал(а):

Скажите, а вы пробелы все заполнили? Let $h=\frac 12...$ чего?

Пробелы в данной последовательности:

$1. \text{ finite} \to 2. \min(D) \to 3. \text{ positive }\to 4. ? \to 5. ? \to 6. \text{ limit point}.$

[NDP]

Хорошо. Пока хватит. Итак, предельные точки из множества $Q$ (якобы все предельные для $E$, по предположению) лежат от $p$ на расстоянии не меньшем, чем $d=\min D>h$. Следовательно, в $N_h(p)$ не попадает ни одна из них. Так?
Дальше сами пробуйте.

[provincialka]

permutation в сообщении #1240404 писал(а):

$N_h(p) \cap Q = N_h(p) - \{p\} = \{\}$

А зачем вам это второе множество? Откуда оно взялось?

Slav-27 в сообщении #1240407 писал(а):

И вот это тоже неправильно, причём оба равенства.

[permutation]

NDP в сообщении #1240430 писал(а):

Хорошо. Пока хватит. Итак, предельные точки из множества $Q$ (якобы все предельные для $E$, по предположению) лежат от $p$ на расстоянии не меньшем, чем $d=\min D>h$. Следовательно, в $N_h(p)$ не попадает ни одна из них. Так?
Дальше сами пробуйте.

$0 < h < d \implies q_i \not \in N_h(p) \implies N_h(p) \cap Q = \emptyset?$

[Slav-27]

permutation в сообщении #1240435 писал(а):

$0 < h < d \implies q_i \not \in N_h(p) \implies N_h(p) \cap Q = \emptyset?$

Тут правильно.

[permutation]

Хотелось бы уточнить кое-что. Если отойти от $p$ на расстояние $h$ то мы просто не дойдем до ближайшей точки $q_i$. Мне интересно существуют ли какие-либо точки (кроме $p$) на расстояний $h$ от $p.$

[permutation]

С предыдущим вопросом все ясно. У меня новый, еще более наивный вопрос.

Пусть $X$ конечное метрическое пространсто с $p \in X.$ Имеет ли тогда смысл говорить, что

a. окрестность $p$ - это интервал в $X$ зависящий от $r > 0$ т.е. некоторые точки $X$ попадают в этот интервал, некоторые находятся за его пределами.

b. каждая окрестность $p$ находится в $X$

edit:

С (a) все кажестся ясно. Это определение окрестности. Я почему-то думал окрестность определяется относительно $E \subset X$, а не самого $X$. Это обьясняет глупые вопросы я задавал выше.

[Slav-27]

permutation в сообщении #1240934 писал(а):

Мне интересно существуют ли какие-либо точки (кроме $p$) на расстояний $h$ от $p.$

Может быть да, может быть нет: это зависит от того, какое именно метрическое пространство вы рассматриваете. Если $\mathbb R$ или $\mathbb R^n$, то ответ да.

permutation в сообщении #1240985 писал(а):

Пусть $X$ конечное метрическое пространсто

Что значит конечное метрическое пространство? Состоит из конечного количества точек?

permutation в сообщении #1240985 писал(а):

Имеет ли тогда смысл говорить, что

a. окрестность $p$ - это интервал в $X$ зависящий от $r > 0$

Нет, не имеет. Во-первых, что такое "интервал"? Во-вторых, откуда взялось какое-то $r$?

permutation в сообщении #1240985 писал(а):

некоторые точки $X$ попадают в этот интервал, некоторые находятся за его пределами

Да: если выбрать какую-то окрестность точки $p$, то, вообще говоря, некоторые точки метрического пространства ей принадлежат, а некоторые нет. Но всё пространство -- тоже окрестность любой своей точки (впрочем, определения окрестности бывают разные, напишите свой вариант).

permutation в сообщении #1240985 писал(а):

каждая окрестность $p$ находится в $X$

Да, если "находится в $X$" понимать как "является подмножеством $X$".

Для справки: открытый шар с центром $p$ радиуса $r$ (где $r>0$) -- это множество точек, удалённых от $p$ менее чем на $r$. Я думаю, что именно это у вас обозначается $N_r(p)$. Подмножество метрического пространства открыто, если вместе с каждою своею точкою содержит также некоторый шар с центром в ней. Окрестностью точки $p$ обычно называется открытое множество, содержащее $p$.

[permutation]

Slav-27 в сообщении #1241241 писал(а):

Что значит конечное метрическое пространство? Состоит из конечного количества точек?

Slav-27 в сообщении #1241241 писал(а):

Нет, не имеет. Во-первых, что такое "интервал"? Во-вторых, откуда взялось какое-то $r$?

В той главе, где дается вся эта топология, все(?) примеры подразумевают $X = \mathbb R$ по умолчанию. Под интервалом имеется ввиду некое подмножество в $\mathbb R$. Под конечным метрическим пространством я имел ввиду пространство с конечным кол-вом точек, к примеру $n$. Забыл сказать, что $r$ - это радиус.

Думаю мне удалось более-менее разобраться с базовыми определениями и теоремами топологий в анализе. Мне с трудом удалось выплыть из болота девятой главы вышеназванного учебника. Там одни голые определеня и теоремы идущие один за другим как автоматная очередь.