2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сумма любых трёх чисел - степень двойки
Сообщение11.08.2017, 15:27 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Можно подобрать такие четыре целых числа, чтобы сумма любых трёх из них была степенью двойки с натуральным показателем (пять чисел подобрать нельзя, это совсем нетрудно доказать).
Например, -12, 4, 12 и 16.

Обязательно ли в такой подборке хотя бы одно из чисел будет отрицательным?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма любых трёх чисел - степень двойки
Сообщение11.08.2017, 17:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Нет, например, $0,0,2,2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма любых трёх чисел - степень двойки
Сообщение11.08.2017, 17:58 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5702
Пусть степени 2-ки: $2^a \leq 2^b\leq 2^c\leq 2^d$. Утроенная сумма чисел равна $2^a+2^b+2^c+2^d$ (откуда следует, что два показателя чётны, а два нечётны), а сами числа в порядке неубывания:
$$\frac{2^a+2^b+2^c+2^d}3 - 2^d,\quad \frac{2^a+2^b+2^c+2^d}3 - 2^c,\quad \frac{2^a+2^b+2^c+2^d}3 - 2^b,\quad \frac{2^a+2^b+2^c+2^d}3 - 2^a.$$
Наименьшее из этих чисел неотрицательно только если $a\leq b=c=d$ или $a=b=c-1=d-1$. Первый случай невозможен из-за нарушения условия на чётность, а во втором случае два наименьших числа равны нулю.
Пример для второго случая: $a=b=1$ и $c=d=2$ даёт числа: $0, 0, 2, 2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма любых трёх чисел - степень двойки
Сообщение11.08.2017, 20:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora
Кстати, отрицательных чисел может быть два, например, $-2, -2, 6, 12$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма любых трёх чисел - степень двойки
Сообщение11.08.2017, 23:20 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
svv
maxal
Большое спасибо!
У меня вылетело из головы отметить, что числа попарно различны, хотя всё равно красиво получилось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма любых трёх чисел - степень двойки
Сообщение12.08.2017, 00:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #1240162 писал(а):
числа попарно различны
рразличны — в моей новой терминологии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма любых трёх чисел - степень двойки
Сообщение12.08.2017, 08:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328

(Оффтоп)

svv в сообщении #1240171 писал(а):
Ktina в сообщении #1240162 писал(а):
числа попарно различны
рразличны — в моей новой терминологии.
:D
Нужно бы ещё что-то придумать для случаев:
(а) из любых $k$ чисел не менее чем $r$ различны.
(б) из любых $|S| - k$ чисел не менее чем $|S| - k - r$ различны, где $S$ -- конечное множество.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма любых трёх чисел - степень двойки
Сообщение12.08.2017, 17:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10887
Crna Gora

(Оффтоп)

grizzly :lol1:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group