Сумма любых трёх чисел - степень двойки

[Ktina]

Можно подобрать такие четыре целых числа, чтобы сумма любых трёх из них была степенью двойки с натуральным показателем (пять чисел подобрать нельзя, это совсем нетрудно доказать).
Например, -12, 4, 12 и 16.

Обязательно ли в такой подборке хотя бы одно из чисел будет отрицательным?

[svv]

Нет, например, $0,0,2,2$.

[maxal]

Пусть степени 2-ки: $2^a \leq 2^b\leq 2^c\leq 2^d$. Утроенная сумма чисел равна $2^a+2^b+2^c+2^d$ (откуда следует, что два показателя чётны, а два нечётны), а сами числа в порядке неубывания:

$$\frac{2^a+2^b+2^c+2^d}3 - 2^d,\quad \frac{2^a+2^b+2^c+2^d}3 - 2^c,\quad \frac{2^a+2^b+2^c+2^d}3 - 2^b,\quad \frac{2^a+2^b+2^c+2^d}3 - 2^a.$$

Наименьшее из этих чисел неотрицательно только если $a\leq b=c=d$ или $a=b=c-1=d-1$. Первый случай невозможен из-за нарушения условия на чётность, а во втором случае два наименьших числа равны нулю.
Пример для второго случая: $a=b=1$ и $c=d=2$ даёт числа: $0, 0, 2, 2$.

[svv]

Кстати, отрицательных чисел может быть два, например, $-2, -2, 6, 12$.

[Ktina]

svv
maxal
Большое спасибо!
У меня вылетело из головы отметить, что числа попарно различны, хотя всё равно красиво получилось.

[svv]

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #1240162 писал(а):

числа попарно различны

рразличны — в моей новой терминологии.

[grizzly]

(Оффтоп)

svv в сообщении #1240171 писал(а):

Ktina в сообщении #1240162 писал(а):

числа попарно различны

рразличны — в моей новой терминологии.

Нужно бы ещё что-то придумать для случаев:
(а) из любых $k$ чисел не менее чем $r$ различны.
(б) из любых $|S| - k$ чисел не менее чем $|S| - k - r$ различны, где $S$ -- конечное множество.

[svv]

(Оффтоп)

grizzly