Задачка на электростатику. Конденсатор.

[rustot]

EUgeneUS в сообщении #1238032 писал(а):

Емкость лепестка меняется в широких пределах. У него одна ёмкость, когда он получает заряд (она считается из геометрии), и совсем другая (малая), когда отдает.

Да это неважно какая у него взаимная емкость с экраном, я ее для простоты считаю бесконечной

Вот есть экран с потенциалом $\frac{U}{2}$. Если внутри него электронейтральный лепесток, то у него ровно тот же потенциал $\frac{U}{2}$. Но потом мы придаем лепестку потенциал 0, путем вкачивания в него с заземления заряда, изменяющего его потенциал на $-\frac{U}{2}$ до нуля. За пределами экрана тот же самый заряд изменит его потенциал на те же самые $-\frac{U}{2}$ (но теперь уже по сравнению с нулем) до $-\frac{U}{2}$. И какой на нем при этом находится заряд - определяется только его собственной емкостью

При прикосновении его к контакту мы считаем что емкость контакта почти равна емкости контакта+лепесток (лепесток плоский и тонкий и равен или меньше контакта) а значит с этого слепка в конденсатор утечет только половина заряда лепестка.

ps. а все, дошло, это я решал для случая что на экранах есть фиксированный заряд и снаружи не меняется, а он же тоже подкачивается с конденсатора дополнительный когда лепесток заземляется. Тогда действительно все определяется только взаимной емкостью

pps. и потенциал лепестков при контакте с конденсатором настолько огромен что можно свободно считать что заряд с них стекает весь и их емкость не важна

[EUgeneUS]

Lakorette в сообщении #1238044 писал(а):

Тогда теперь более-менее ясно. $\Delta U = 0 $ $\longrightarrow 2U' = U_{0}$, $U_{0}$ - начальное напряжение конденсатора.

Оказалось не совсем ясно. Досадную ошибку сами найдете, или нужна подсказка?

-- 03.08.2017, 17:38 --

rustot в сообщении #1238051 писал(а):

pps. и потенциал лепестков при контакте с конденсатором настолько огромен что можно свободно считать что заряд с них стекает весь и их емкость не важна

Ага. Только, ИМХО, причинно следственная связь видится другой: емкость лепестка вне экрана мала (а заряд тот же, ему некуда деться) -> потенциал огромен -> заряд с лепестка на конденсатор стекает (почти) весь.

[Lakorette]

EUgeneUS в сообщении #1238068 писал(а):

Lakorette в сообщении #1238044 писал(а):

Тогда теперь более-менее ясно. $\Delta U = 0 $ $\longrightarrow 2U' = U_{0}$, $U_{0}$ - начальное напряжение конденсатора.

Оказалось не совсем ясно. Досадную ошибку сами найдете, или нужна подсказка?

Я немного запутался( Насколько я понимаю, то обязательное условие на заряды "лепестковых" конденсаторах это $q_{1} = -q_{2}$. Напряжения на них тогда $U_{1} = - U_{2}$(возможно, что не совсем корректно так писать). Тогда, т.к. оба конца заземлены, то $U_{1} + U_{2} + U'_{0} = 0 \longrightarrow U'_{0} = 0$. При этом, записывая закон сохранения заряда, получаем: $q_{1} + q_{2} + q'_{0} = q_{0} \longrightarrow q'_{0} = q_{0}$, тогда $U'_{0} = U_{0} \longrightarrow$ Получаем противоречие.

[EUgeneUS]

Lakorette в сообщении #1238072 писал(а):

Я немного запутался

Вы как-то много запутались. Давайте распутываться.
Вот у нас есть цепь из трех конденсаторов, соединенных в кольцо. Сумма напряжений (как разностей потенциала) по кругу будет нулем, это Вы вроде бы понимаете.
Осталось понять, какие напряжения войдут с плюсом (потенциал растет в направлении обхода), а какие с минусом (потенциал падает в направлении обхода). И даже это у Вас почти получилось, но была допущена другая досадная ошибка.

[Lakorette]

Так, обходим цепь по контуру. Положительное направление - направление напряженности конденсатора $C$. Каждый экран имеет заряд, знак которого соответствует знаку заряда пластины, к которой подключен экран. Тогда получаем $U_{1} + U_{2} = U'_{0}$. При этом $U_{1} = U_{2}$. Верно ли то, что падение напряжения на "лепестковых" конденсаторах имеет один знак? Боюсь уж рассуждать дальше, еще наделаю ошибок...

-- 03 авг 2017, 21:40 --

Далее закон сохранения заряда: на конденсаторах имеется как положительный так и отрицательный заряд(если на одной $q$, а на другой - $-q$, то заряд конденсатора определяется как $q$), поэтому все же: $q_{1} + q_{2} + q'_{0} = q_{0}$. $q_{1} = q_{2}$.

При таком условии ответ выходит таким: $\omega = (1 + \frac{\varepsilon_{0}S}{C_{0}d + 2\varepsilon_{0}S})^{4n}$. Тоже не совпал, все еще ошибка в рассуждениях?( Думаю, я Вам порядком надоел, прощу прощения.

[EUgeneUS]

Lakorette в сообщении #1238079 писал(а):

Верно ли то, что падение напряжения на "лепестковых" конденсаторах имеет один знак?

Если мы смотрим напряжение на "лепестковых конденсаторах" относительно земли, то знаки разные. Но если смотрим по направлению обхода контура, то знаки одинаковые, обратите на это внимание, чтобы не путаться. Нас интересует по направлению обхода.

В этот раз с напряжением у Вас всё в порядке.

Lakorette в сообщении #1238079 писал(а):

При этом $U_{1} = U_{2}$.

это требует некоторого обоснования. Но говорим "из соображений симметрии" .

С зарядами тоже вроде бы всё в порядке.
Что получается в итоге?

[Lakorette]

EUgeneUS в сообщении #1238083 писал(а):

Что получается в итоге?

При таком условии ответ выходит таким: $\omega = (1 + \frac{\varepsilon_{0}S}{C_{0}d + 2\varepsilon_{0}S})^{4n}$. Может быть в ответе ошибка?

-- 03 авг 2017, 22:08 --

Я в конце получаю уравнение: $\Delta q = \frac{q_{0}}{2}\frac{C'}{C' + C_{0}}$. При этом $C' = \frac{2 \varepsilon_{0}S}{d}$

UPD: Думаю, что ошибка в ответе. Чтобы получить этот ответ нужно записать закон сохранения заряда так: $\Delta q + q'_{0} = q_{0}; \,\, 2 \Delta U = U'_{0}$.
Мы записывали в виде $2 \Delta q + q'_{0} = q_{0}$. В любом случае, спасибо Вам большое, что помогли разобраться. Вы очень помогли.

[EUgeneUS]

Lakorette
Почему-то мне кажется, что с ответом опять не совпало. Давайте пока забудем про выражение $C'$ через $S$ и $d$, так будет (пока) проще. Какой прирост напряжения будет за один цикл?

[Lakorette]

EUgeneUS
Получается, что при одном обороте у нас напряжение возрастает в $\omega = [1 + \frac{C'}{2(C' + C_{0})}]^{4}$ раз.

[EUgeneUS]

Lakorette

Когда решал несколько часов назад, получил чуть другое чем, получилось сейчас у нас с Вами. Но там был некий финт ушами. И думаю, что там ответ был верный. При $C' \gg C_0$ получалось что заряд (и напряжение) на каждом цикле удваивается.

Предлагаю подумать, что не так с законом сохранения заряда.

[Lakorette]

EUgeneUS

Lakorette в сообщении #1238086 писал(а):

Чтобы получить этот ответ нужно записать закон сохранения заряда так: $\Delta q + q'_{0} = q_{0}; \,\, 2 \Delta U = U'_{0}$.

Быть может, что мы каким-то образом учитываем в уравнении $2 \Delta q + q'_{0} = q_{0}$ заряд лепестков?

[EUgeneUS]

Lakorette в сообщении #1238079 писал(а):

на конденсаторах имеется как положительный так и отрицательный заряд(если на одной $q$, а на другой - $-q$, то заряд конденсатора определяется как $q$)

Вот это Вы правильно сказали.
Но какой заряд сохраняется?

[Lakorette]

EUgeneUS
Смотря с какой стороны, ведь у нас есть и положительно заряженные экраны и отрицательно заряженные. Только на экранах сохраняется заряд, но ведь он разного знака. Имеется ввиду, что есть подключенный к отрицательной пластине, а есть подключенный к положительной. При этом они равны по модулю.

[EUgeneUS]

Lakorette
Заряд сохраняется на проводнике, которые соединяет обкладку $C_0$ и экран, включая и обкладку $C_0$, и экран - это один и тот же проводник (до тех пор, пока лепесток не приедет со своим зарядом к обкладке конденсатора).

Далее. Есть заряд, как количество заряженных частиц. И есть заряд конденсатора, чтобы изменить заряд конденсатора на $\Delta q$ нужно на одну обкладку добавить $\Delta q$ и на другую добавить $\Delta q$ обратного знака.

Что у нас происходит. Один лепесток уносит заряд (как количество заряженных частиц) $\Delta q$ и другой лепесток уносит $\Delta q$ но другого знака. Каждый из них добавляется к соответствующей обкладке $C_0$, но в этом случае заряд $C_0$ (конденсатора) изменяется на $\Delta q$, а не на $2 \Delta q$.

[Lakorette]

EUgeneUS
Да, понятно, что для того чтобы увеличить заряд конденсатора, нужно сообщить обоим обкладкам равный по модулю и противоположный по знаку заряд. Я записывал закон сохранения по непоавельным соображениям. Теперь все понятно. Еще раз Вам большое спасибо за помощь!