Кардиналы-2

[Dan B-Yallay]

В связи с тем, что тему "кардиналы" закрыли, открою новую.

Дано несчетное множество корзин. Каждая корзина содержит счетное множество пронумерованных (начиная с единицы) шаров. Множество корзин предполагается заранее вполне упорядоченным(согласно Теореме Цермело). Поэтому существует "первая корзина"
На шаге 1 чертик вынимает шар номер 1 из первой корзины.

Множество корзин без первой является подмножеством вполне упорядоченного множества корзин, поэтому тоже вполне упорядоченное:
На шаге 2 чертик вынимает шары 1 и 2 из "второй" корзины.
На шаге 3 он вынимает шары 1,2 и 3 из "третьей" и так далее.

Сколько шаров будет в корзине стоящей на $\omega +1$-том месте? То есть на первом после счетного ординале $\omega_1$.

Из комментария

Профессор Снэйп писал(а):

На шаге $\omega_1$ чёртик получит $\omega_1$ различных лент, на каждой из которых будет лишь конечное число единиц.

Вообще, если даже продолжать процесс по всем ординалам, то никогда ни на каком шаге лента с бесконечным числом единиц не появится!

следует, что из корзины $\omega +1$ будет вынуто опять лишь конечное число шаров. И вообще, если продолжить по всем ординалам, во всех корзинах будет вынуто конечное число шаров.

Я правильно понял?
Меня смущает то обстоятельство, что на шаге $\omega +1$ в корзине не будет шара с номером 1, не будет и шара с номером 2 и т.д. А какой тогда шар там будет?

[Someone]

Dan B-Yallay писал(а):

Дано несчетное множество корзин. Каждая корзина содержит счетное множество пронумерованных (начиная с единицы) шаров. Множество корзин предполагается заранее вполне упорядоченным(согласно Теореме Цермело). Поэтому существует "первая корзина"
На шаге 1 чертик вынимает шар номер 1 из первой корзины.

Множество корзин без первой является подмножеством вполне упорядоченного множества корзин, поэтому тоже вполне упорядоченное:
На шаге 2 чертик вынимает шары 1 и 2 из "второй" корзины.
На шаге 3 он вынимает шары 1,2 и 3 из "третьей" и так далее.

Сколько шаров будет в корзине стоящей на $\omega +1$-том месте? То есть на первом после счетного ординале $\omega_1$.

Ваша процедура определена только для конечных ординалов. Поэтому нельзя сказать, что будет происходить с корзинами, которые имеют бесконечные номера $\omega$, $\omega+1$, ... Кстати, а почему Вас не интересует, что будет с корзиной, стоящей на месте $\omega$?

И ещё: $\omega_1$ - это стандартное обозначение для наименьшего несчётного ординала, а вовсе не для $\omega+1$.

Dan B-Yallay писал(а):

Из комментария

Профессор Снэйп писал(а):

На шаге $\omega_1$ чёртик получит $\omega_1$ различных лент, на каждой из которых будет лишь конечное число единиц.

Вообще, если даже продолжать процесс по всем ординалам, то никогда ни на каком шаге лента с бесконечным числом единиц не появится!

следует, что из корзины $\omega +1$ будет вынуто опять лишь конечное число шаров. И вообще, если продолжить по всем ординалам, во всех корзинах будет вынуто конечное число шаров.

Я правильно понял?

Неправильно. Процедура с лентами была некоторым естественным образом определена для всех ординалов. Процедура с выниманием шаров, занумерованных натуральными числами, в Вашем описании определена только для шагов с конечными номерами, поскольку есть шары с конечными номерами $1$, $2$, ..., и нет шара с номером $\omega$.

[Dan B-Yallay]

Someone писал(а):

Ваша процедура определена только для конечных ординалов. Поэтому нельзя сказать, что будет происходить с корзинами, которые имеют бесконечные номера $\omega$, $\omega+1$, ... Кстати, а почему Вас не интересует, что будет с корзиной, стоящей на месте $\omega$?

Меня это безусловно интересует, но я пока не знаю как этот вопрос сформулировать. У вас уже есть ответ?

Я бы с удовольствием определил действия чертика на всех ординалах, если бы знал как это сделать. Наверное что-то вроде такого:
"на каждом конечном или бесконечном шаге - посмотреть какие шары были вынуты раньше, вынуть из текущей корзины такие же шары плюс следующий, если таковой есть. Если нет - перейти к след. корзине"

Someone писал(а):

И ещё: $\omega_1$ - это стандартное обозначение для наименьшего несчётного ординала, а вовсе не для $\omega+1$.

Да, чертик попутал.
Я имел в виду счетный ординал $\omega+1$ идущий после $\omega$.

Someone писал(а):

Процедура с лентами была некоторым естественным образом определена для всех ординалов. Процедура с выниманием шаров, занумерованных натуральными числами, в Вашем описании определена только для шагов с конечными номерами, поскольку есть шары с конечными номерами $1$, $2$, ..., и нет шара с номером $\omega$.

Тогда значит, что чертик все-таки получит бесконечную "единичную"ленту?

Я думал, что корзины с шарами ставятся в соответствие тем лентам, на которых чертик поставит подряд, без пропусков единички, то есть первая корзина -> первая лента"кандидат", вторая корзина -> вторая лента-"кандидат" и так далее.

[Someone]

Dan B-Yallay писал(а):

Меня это безусловно интересует, но я пока не знаю как этот вопрос сформулировать. У вас уже есть ответ?

Разумеется, нет и не будет, пока Вы не определите действия чёртика на шаге $\omega$.

Dan B-Yallay писал(а):

Тогда значит, что чертик все-таки получит бесконечную "единичную"ленту?

Я думал, что корзины с шарами ставятся в соответствие тем лентам, на которых чертик поставит подряд, без пропусков единички, то есть первая корзина -> первая лента"кандидат", вторая корзина -> вторая лента-"кандидат" и так далее.

Откуда такая лента возьмётся? Будет лента с одной единицей, лента с двумя единицам и так далее. Но ленты с бесконечным числом единиц не будет, потому что нет корзины, из которой вынуты все шары.

У Вас, как мне кажется, в голове всё время сидит мысль о каком-то предельном переходе. Нет здесь никакого предельного перехода. Есть только последовательность действий, определённых на всех конечных шагах. Если нужен предельный переход, его нужно явно определить (для лент он определялся некоторым естественным образом: запись на ленте - это некоторая функция, определённая на начальном отрезке ординалов, и на предельных шагах берётся объединение этих функций, определённых на всех предыдущих шагах; определение корректно, так как эти функции на общей части своих областей определения согласованы).