Четыре различных действительных корня уравнения

[Tiberium]

Найдите все значения $a$, при которых уравнение $(x+1)^4-(x^2+2x)(a+3)+a^2+3a+1=0$ имеет четыре различных действительных корня, образующих арифметическую прогрессию.

Обозначим $(x^2+2x)=t$:
$(t+1)^2-t(a+3)+a^2+3a+1=0$
$t^2-t(a+1)+a^2+3a+2=0$

Для четырех действительных корней нам нужно, чтобы данное уравнение имело два положительных корня $t_1,t_2$, что равносильно:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} a+1>0 \\ a^2+3a+2>0 \\ (a+1)^2-4(a^2+3a+2)>0 \\ \end{array} \right.$$

Система неравенств решений не имеет, то есть таких $a$ не существует. В чем я ошибся? :)

[grizzly]

Tiberium в сообщении #1237098 писал(а):

В чем я ошибся?

Вот здесь:

Tiberium в сообщении #1237098 писал(а):

Для четырех действительных корней нам нужно, чтобы данное уравнение имело два положительных корня $t_1,t_2$

[Tiberium]

grizzly в сообщении #1237102 писал(а):

Вот здесь:

Да, что-то я забыл, какую замену сделал. Как всегда, невнимательность...

[alcoholist]

Tiberium
и как дальше решаете? (просто интересно)

-- Пн июл 31, 2017 17:50:55 --

логичнее за новую переменную принять $(x+1)^2$, так как $x+1$ тоже образуют арифметическую прогрессию

[Tiberium]

alcoholist в сообщении #1237113 писал(а):

и как дальше решаете? (просто интересно)

Оба корня уравнения $t^2-(a+1)t+a^2+3a+2$ должны быть больше $-\frac{1}{4}$, что равносильно выполнению трех условий: положительный дискриминант, абсцисса вершины параболы правее $-\frac{1}{4}$, $f(-\frac{1}{4})>0$

Пусть тогда $t_1, t_2$ - корни уравнения и $t_2>t_1$. Тогда четыре действительных корня исходного уравнения в порядке возрастания: $ -\sqrt{t_2},-\sqrt{t_1},\sqrt{t_1},\sqrt{t_2}$
Так как они должны образовывать арифметическую прогрессию: $\sqrt{t_2}-\sqrt{t_1}=2\sqrt{t_1}$, откуда $9t_1=t_2$

Дальше из теоремы Виета и ограничений, полученных выше для $a$, найдем искомые значения $a$. Нормально?

[alcoholist]

ответ есть?-)

[Tiberium]

alcoholist в сообщении #1237139 писал(а):

ответ есть?-)

Я там выше неправильно написал. Оба корня уравнения должны быть больше $-1$.

Ответ: $a=-\frac{191}{91}$

[svv]

Ой, простите, написал плюс вместо минуса. Del.
Вот:
(x+1)^4-(x^2+2x)(a+3)+a^2+3a+1=0 where a=-191/91
Видно, что нет прогрессии.

[svv]

Tiberium в сообщении #1237120 писал(а):

Пусть тогда $t_1, t_2$ - корни уравнения и $t_2>t_1$. Тогда четыре действительных корня исходного уравнения в порядке возрастания: $ -\sqrt{t_2},-\sqrt{t_1},\sqrt{t_1},\sqrt{t_2}$

Так было бы в случае замены $t=x^2$. Но замена была $t=x^2+2x$, поэтому $\pm\sqrt {t_k}$ — не корни исходного уравнения.

[matidiot]

Если сделать замену переменной $t=(x+1)^2$, то предыдущие рассуждения действительно приводят к соотношению: $t_2=9t_1$ и дальше по теореме Виета несложно получить два ответа: $a_1=\frac {-11}{7},a_2=\frac{-29}{13}$, что проверяется Вольфрамом

[Tiberium]

svv в сообщении #1237174 писал(а):

Видно, что нет прогрессии.

Опять я накосячил.
Пусть $t_2>t_1$

Тогда корни уравнения имеют вид: $-1-\sqrt{t_2},-1-\sqrt{t_1},-1+\sqrt{t_1},-1+\sqrt{t_2}$ (а вовсе не та глупость, которую я написал до этого).
Отсюда $t_2 = 9t_1+8$
Зная это и выражения для суммы и произведения корней, получим $a = -\frac{11}{7}$ или $a = -\frac{29}{13}$

[svv]

Теперь правильно.
А в случае замены, которую предлагал alcoholist, можно было бы делать так, как Вы делали.