Задача по механике.

[sppol]

На гладкой горизонтальной плоскости лежит стержень массой m=200г, длинной L=10cм. Шарик массой m=5г , летящий со скоростью V=10 м/с перпендикулярно стержню , упруго ударяется в его конец. Определите скорость центра масс стержня после удара и его угловую скорость.
Заранее спасибо.

[Парджеттер]

Ну что ж, давайте. В чем ваша проблема? Подсказка - начните с закона сохранения момента импульса.

[Someone]

Вот решение похожей задачи (с неупругим столкновением): http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=84680#84680.
Попробуйте изложить свои попытки решения. Халявщиков здесь не любят, и выкладывать готовое решение запрещено.
Учтите только, что для написания формул у нас используется \TeX. Запись формул в другом виде считается нарушением правил (пункт 1к). С \TeXом можно вкратце познакомиться здесь: http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=8355 и http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=183.
Вы можете посмотреть, как записана та или иная формула, если наведёте на неё курсор мыши или щёлкнете по кнопке .

[sppol]

Воспользуемся ЗСИ

\[ \begin{array}{l} m_0 v_0 = MU - m_0 v \\ v = \frac{{MU}}{{m_0 }} - v_0 \\ \end{array} \]

Воспользуемся ЗСМИ

\[ \begin{array}{l} \frac{{m_0 v_0 l}}{2} = I\omega - \frac{{m_0 vl}}{2} \\ I = \frac{{Ml^2 }}{{12}} \\ \end{array} \]

Воспользуемся ЗСЭ

\[ m_0 v_0 ^2 = m_0 v^2 + MU^2 + I\omega ^2 \]

(Помножил на два)
Задача в том что при ударе центр масс смещается и тогда закон сохранения энергии нельзя использовать, т.к. угловая скорость будет уже относительно смещенного центра масс.

[Парджеттер]

sppol писал(а):

Задача в том что при ударе центр масс смещается и тогда закон сохранения энергии нельзя использовать, т.к. угловая скорость будет уже относительно смещенного центра масс.

Что-то я Вас не очень понимаю.
Шарик сталкивается со стержнем. До столкновения энергия системы шарик + стержень равна

$$\frac{m_0v_0^2}{2}$$

. После чего шарик, как материальная точка меняет скорость, а стержень совершает плоское движение. При этом кинетическая энергия шарика, как вы записали

$$\frac{m_0v^2}{2}$$

, а кинетическая энергия стержня (как следует из теоремы Кёнига) равна

$$T=\frac12 MV_c^2 + \frac12 J_{Cz} \omega^2$$

, где $V_c$ - скорость ц.м. стержня, $J_{Cz}, \omega$ - момент инерции и скорость вращения вокруг ц.м. Больше энергия ни на что не идет. Значит она сохраняется. Я думаю ничего сложнее в этой задаче не предполагается.

Я так понимаю, в ваших записях $U$ - это скорость центра масс?

[sppol]

В ЗСЭ энергия сохраняется , но угловая скорость стержня после удара будет отсчитываться относительно смещенного центра масс, т.е. в ЗСМИ и в ЗСЭ угловые скорости не будут равны. Чтобы рассматривать одну угловую скорость нужно в ЗСМИ (после столкновения)брать расстояние до смещенного центра масс:

\[ \frac{{m_0 v_0 l}}{2} = I\omega - m_0 vx_c \]

Я пытался найти центр масс после столкновения, но почему то всегда получается что в начале и в конце они равны.

Цитата:

Я так понимаю, в ваших записях

\[U\]

- это скорость центра масс?

Да

[Someone]

sppol писал(а):

В ЗСЭ энергия сохраняется , но угловая скорость стержня после удара будет отсчитываться относительно смещенного центра масс, т.е. в ЗСМИ и в ЗСЭ угловые скорости не будут равны. Чтобы рассматривать одну угловую скорость нужно в ЗСМИ (после столкновения)брать расстояние до смещенного центра масс:

\[ \frac{{m_0 v_0 l}}{2} = I\omega - m_0 vx_c \]

Я пытался найти центр масс после столкновения, но почему то всегда получается что в начале и в конце они равны.

Речь идёт о центре масс стержня? А с какой стати он сместится? В той задаче, на которую я ссылался, центр масс смещался из-за того, что при столкновении тела соединялись в одно целое.
Или Вы, говоря о смещении, подразумеваете то, что стержень пришёл в движение?

Разумеется, угловая скорость в обоих законах сохранения одна и та же. И центр масс стержня один и тот же как до столкновения, так и после.

[sppol]

Если я вас правильно понял , то после удара стержень вращаясь, стал двигаться прямолинейно?
И сместиться центр масс может только в случае абсолютно упругого удара?
Но ведь в законе сохранения момента импульса момент нужно брать относительно общего центра масс, т.е. относительно центра масс шарика и стержня который не будет равен центру стержня.

[Someone]

sppol писал(а):

Если я вас правильно понял , то после удара стержень вращаясь, стал двигаться прямолинейно?

Центр тяжести стержня будет двигаться прямолинейно (и равномерно), поскольку нет никаких внешних сил, которые заставили бы его отклониться от прямой (или изменить скорость).

sppol писал(а):

И сместиться центр масс может только в случае абсолютно упругого удара?

Я вообще не могу понять, о каком смещении Вы говорите. Стержень после удара сломался, что ли? Если со стержнем ничего не случилось, то его центр тажести остался там же, где и был - посередине стержня.

sppol писал(а):

Но ведь в законе сохранения момента импульса момент нужно брать относительно общего центра масс, т.е. относительно центра масс шарика и стержня который не будет равен центру стержня.

С какой стати? Шарик ударил и отскочил, а вращается только стержень. Его центр масс и его угловая скорость и есть те величины, которые входят в выражения для кинетической энергии и момента импульса стержня. Вам же Парджеттер написал.

В той задаче, на которую я ссылался, шарик после удара прилипал к стержню в точке удара, и вращалось составное тело. Но там положение общего центра масс указано. Однако к Вашей задаче это отношения не имеет, у Вас после удара остаются те же два независимых тела.

[sppol]

Тогда получается что эти формулы абсолютно верны?
Воспользуемся ЗСИ

\[ \begin{array}{l} m_0 v_0 = MU - m_0 v \\ v = \frac{{MU}}{{m_0 }} - v_0 \\ \end{array} \]

Воспользуемся ЗСМИ

\[ \begin{array}{l} \frac{{m_0 v_0 l}}{2} = I\omega - \frac{{m_0 vl}}{2} \\ I = \frac{{Ml^2 }}{{12}} \\ \end{array} \]

Воспользуемся ЗСЭ

\[ m_0 v_0 ^2 = m_0 v^2 + MU^2 + I\omega ^2 \]

[Архипов]

sppol писал(а):

Тогда получается что эти формулы абсолютно верны?
Воспользуемся ЗСИ
Воспользуемся ЗСМИ
Воспользуемся ЗСЭ

Безусловно. Вот в такой форме. А при конкретных значениях скоростей и масс - аккуратно со знаками. Если момент инерции стержня таким написали, то момент инерции шарика тоже относительно другого конца стержня считать (то есть радиус равен длине стержня). И с выводом скорости шарика не торопиться, как Вы сделали (в знаменателе должна быть сумма масс тел). Надо всю систему уравнений решить. Про смещение центра масс упоминалось. Импульс центра масс обоих тел сохраняется всегда (как только задали условия в задаче), потому скорость смещения его постоянна $V=U*m/(M+m)$.

[Someone]

Архипов, не путайте человека. Вы, похоже, плохо поняли условие задачи.

sppol, не забудьте потом, что скорость $v$ у Вас имеет направление, противоположное направлению скорости $v_0$. Разумно было бы выбрать положительные направления для $v_0$ и $v$ одинаковыми, чтобы потом не путаться.

[sppol]

Большое спасибо!
Тогда если всё верно прошу перейти по этой ссылке:
http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=14503

[sppol]

Появился еще один вопрос: можно ли в этой задаче использовать закон сохранения импульса? Ведь в нем учитывается только энергия поступательного движения.

[vladyur]

Эта простенькая задачка высветила порок классической механики. В ней имеет место закон сохранения момента импульса. Это неверно. Квантовая механика давно показала, что сохраняется вовсе не момент импульса, а кинетический момент $\vec J=\vec L+\vec S$. Здесь $\vec J $ кинетический момент, $\vec L$ - орбитальный момент (момент импульса), $\vec S$ - спин - момент собственного вращения. Эта величина и сохраняется, это и есть есть универсальный закон сохранения, . А вовсе не закон сохранения момента импульса (орбитального момента).
Тут до сих пор сказывается отсталось классической механики. В квантовой механике точечный объект может иметь собственный момент вращения - спин. А классическая механика до сих пор не смогла усвоить этот урок и до сих пор стоит на нелепой парадигме отсутствие собственного момента (спина) у точечных объектов.
Но ведь точечными объектами могу быть не только какие-то пылинки, а целая галактики и звезды, планеты и т.д. И они могут сталкиваться. И не видеть возможность у этих точечных объектов собственного момента вращения полная нелепость. Именно поэтому теория удара до сих пор самая запутанная теория, потому что как вообще можно описывать удар без процесса передачи орбитального момента в спин, спина в орбитальное движени, без спин-спинового, спин-орбитального, орбиталь-орбитального взаимодействия и т.д. Причем еще раз отметим, размеры механических объектов не при чем. Эти законы сохранения и виды взаимодействия имеют место и в квантовой, и классической механике, аналогично тому как законы сохранения энергии и импульса. Даже путевой теории биллиарда до сих пор классическая механика не смогла создать.

Но тем ни менее, sppol совершенно правильно написал уравнения исходя из закона сохранения полного кинетического момента. Но отсутствие общего закона вызывает чувство неуверенности.

Цитата:

Появился еще один вопрос: можно ли в этой задаче использовать закон сохранения импульса? Ведь в нем учитывается только энергия поступательного движения

.
Нельзя. А нужно делать именно так, как вы, учитывая и собственный момент вращения, и момент импульса.
Что нужно для превращения классической механики в современную теорию. Надо дополнить характеристику точечных тел не только массой, но и собственным спином, собственным моментом вращения. И ввести закон сохранения полного кинетического момента. Тогда может быть создана нормальная теория удара.