Численное решение системы НДУ

[Riga]

Вот такая система, решал её улучшенным Ньютоном, установлением при разных линеаризациях, пристрелкой. Конечные элементы, как я понимаю, ничего нового не добавят. В общем не сходится. Что вы могли бы посоветовать?
(a~1E+2, c~1E-2)

Может есть действенные способы показать, что решения не будет/будет неустойчиво?

[zoo]

Riga писал(а):

Вот такая система, решал её улучшенным Ньютоном, установлением при разных линеаризациях, пристрелкой. Конечные элементы, как я понимаю, ничего нового не добавят. В общем не сходится. Что вы могли бы посоветовать?
(a~1E+2, c~1E-2)

Может есть действенные способы показать, что решения не будет/будет неустойчиво?

Какая-то нелинейная система, сложная. Попробуйте сперва качественным анализом заняться.
1) Малые параметры есть?
2) Частные решения известны?
3) Первые интегралы известны?

[Riga]

частное решение есть для с=a=1, E=0.
это просто ~x^{-2} с коэффициентами. Но от такого случая до \displaystyle \frac{c}{a} порядка 10^{-4} ох как далеко...

про малость параметров тут я указал, особо маленьких нету... там получается перед нелинейностью небольшой коэффициент, но это вроде как только на пользу при итерационном решении.. а оно ничего не дало.

[V.V.]

Частные решения прекрасно существуют почти при всех $c$, $a$.

Есть, например, такое однопараметрическое семейство $n_e(t)=\frac{\alpha}{(x+x_0)^2}$, $n_h(t)=\frac{\beta}{(x+x_0)^2}$, $E(t)=\frac{\gamma}{(x+x_0)}$.

На $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ получается линейная система уравнений, которая имеет решения в случае, если $c\ne 0$ и $c\ne 3+3a$.

Первых интегралов здесь, вроде как, два, что, конечно, позволяет понизить порядок системы, но после этого она будет выглядеть куда менее красивой. С другой стороны, нетривиальный интеграл позволяет выразить $E$ через $n_e$ и $n_h$, что с точки зрения численного решения может быть полезно.

P.S. Да, есть еще такое простое свойство. Если $(n_e(x),n_h(x),E(x))$ - решение, то
$(t^2n_e(tx),t^2n_h(tx),tE(tx))$ - тоже решение для всех $t$.

[zoo]

V.V. писал(а):

Первых интегралов здесь, вроде как, два

какие?

Добавлено спустя 56 минут 50 секунд:

V.V. писал(а):

Есть, например, такое однопараметрическое семейство $n_e(t)=\frac{\alpha}{(x+x_0)^2}$, $n_h(t)=\frac{\beta}{(x+x_0)^2}$, $E(t)=\frac{\gamma}{(x+x_0)}$

Сие наводит на мысль о замене искомых функций

$n_e(x)=\frac{\alpha(x)}{(x+x_0)^2}$, $n_h(x)=\frac{\beta(x)}{(x+x_0)^2}$, $E(x)=\frac{\gamma(x)}{(x+x_0)}$
На функции $\alpha,\beta,\gamma$ получится система уравнений, которая будет иметь тотже вид, что и старая система + добавки вида $\frac{f(...)}{(x+x_0)}$ . Дальше можно попробовать действовать теорией возмущений. Добавки выбросить и искать ограниченные решения системы без добавок. Если они найдутся то расмотреть полную систему, имя ввиду что добавки малы при больших $x$.
О наличии ограниченных решений возможно можно будет судить по первым интегралам, которые я надеюсь, V.V. выложит.

[V.V.]

Riga писал(а):

Может есть действенные способы показать, что решения не будет/будет неустойчиво?

Система нелинейна. Поэтому надо определиться, какое решение Вы хотите исследовать на устойчивость.

[zoo]

V.V. писал(а):

Первых интегралов здесь, вроде как, два

ну так где первые интегралы, или это треп просто?

[Riga]

V.V. писал(а):

Riga писал(а):

Может есть действенные способы показать, что решения не будет/будет неустойчиво?

Система нелинейна. Поэтому надо определиться, какое решение Вы хотите исследовать на устойчивость.

численное...видимо это метод замороженных коэффициентов.

Цитата:

Есть, например, такое однопараметрическое семейство $n_e(t)=\frac{\alpha}{(x+x_0)^2}$, $n_h(t)=\frac{\beta}{(x+x_0)^2}$, $E(t)=\frac{\gamma}{(x+x_0)}$

Если рассматривать это семество где gamma не зависит от x, то мы не сможем удовлетворить начальным условиям.

[V.V.]

zoo писал(а):

V.V. писал(а):

Первых интегралов здесь, вроде как, два

ну так где первые интегралы, или это треп просто?

Ты сам найди. Это не так сложно.

Добавлено спустя 3 минуты 41 секунду:

Re: Численное решение системы НДУ

Riga писал(а):

V.V. писал(а):

Riga писал(а):

Может есть действенные способы показать, что решения не будет/будет неустойчиво?

Система нелинейна. Поэтому надо определиться, какое решение Вы хотите исследовать на устойчивость.

численное...видимо это метод замороженных коэффициентов.

Не понял. У Вас имеется три условия в нулю и условия на бесконечности.
Сколько решений им удовлетворяет? Вряд ли имеет место единственность.

Вы хотите исследовать на устойчивость решение $n_e=n_h=0$, $E=const$?

[zoo]

V.V. писал(а):

Ты сам найди. Это не так сложно

Трушков ты очень наивен если думаешь, что так можно уйти от ответственности за свои слова. Поэтому либо выкладывай формулы либо ты просто безответственное трепло.

[V.V.]

zoo, даю подсказку. Даже две.

1. У системы есть две симметрии: трансляция и масштаб.
2. Для обыкновенных уравнений есть теорема Нётер.

[zoo]

V.V. писал(а):

zoo, даю подсказку. Даже две.

1. У системы есть две симметрии: трансляция и масштаб.
2. Для обыкновенных уравнений есть теорема Нётер.

про теорему Нетер для нелагранжевых систем пожалуйста по-подробнее:)

[Riga]

V.V. писал(а):

Не понял. У Вас имеется три условия в нулю и условия на бесконечности.
Сколько решений им удовлетворяет? Вряд ли имеет место единственность.

у нас порядки уравнений совпадают с количеством граничных условий, почему должна нарушаться единственность?

Добавлено спустя 3 минуты 1 секунду:

V.V. писал(а):

Вы хотите исследовать на устойчивость решение $n_e=n_h=0$, $E=const$?

нет, мой вопрос начальный про устойчивость, к сожалению, был лишним, я хотел найти усточива ли моя схема решения, но ответ как это делать я уже указал.

[V.V.]

zoo, почитай такую книгу
Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики. Под редакцией А.М. Виноградова и И.С. Красильщика.

Узнаешь много нового.

[zoo]

V.V. писал(а):

zoo, почитай такую книгу
Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики. Под редакцией А.М. Виноградова и И.С. Красильщика.

Узнаешь много нового.

Очень хорошо. Теперь пожалуйста, точную ссылку с годом издания и стр на которой теорема Нетер о восстановлении первого интеграла по группе симметрий сформулирована для произвольных (нелагранжевых!) систем ДУ Чтобы любой мог убедиться что ты врешь