Частицы по ячейкам

[rwanda]

Задача 1.50. Равновероятной схемой размещения частиц по ячейкам называют схему размещения, в которой номера ячеек, последовательно занимаемых частицами, получают посредством случайного выбора с возвращением.
Обозначим $\mu_r = \mu_r(n, N)$ число ячеек, содержащих ровно по $r$ частиц после размещения $n$ частиц по $N$ ячейкам. Найти вероятность следующих событий:
1 ) $\mu_0(n, N) > 0$ (при $n=N$);

Хочу проверить ответ.

$$\frac{\binom{n-2}{n+N-2}}{\binom{n-1}{n+N-1}}$$

[svv]

Событие $\mu_0>0$ заключается в том, что при размещении некоторые ячейки пусты. Я взял простой случай: $2$ частицы и $2$ ячейки. Тогда вероятность события равна $\frac 1 2$. Что даёт Ваша формула?

[rwanda]

svv
Моя формула, очевидно, не подходит :(

Но разве в Вашем случае вероятность не будет $\frac{2}{3}$?
[**][ ]
[ ][**]
[ * ][ * ]

Новая попытка: $1-\frac{N!(N-1)!}{(2N-1)!}$
Посчитана вероятность, что все ячейки будут заняты, затем это дело вычитается из единицы. Фигурируют только $N$, так как по условию $n=N$.

[svv]

rwanda в сообщении #1235521 писал(а):

Равновероятной схемой размещения частиц по ячейкам называют схему размещения, в которой номера ячеек, последовательно занимаемых частицами, получают посредством случайного выбора с возвращением.

Вот как я это понимаю. Есть мешок, а в нём $N$ шаров, перенумерованных от 1 до $N$. Сначала получим номер ячейки, в которую попадёт первая частица. Вынимаем из мешка шар, смотрим, какой у него номер. Этот номер обозначим $k_1$. Отправляем первую частицу в ячейку $k_1$. После этого обязательно возвращаем шар в мешок. Потом так же определяем номер ячейки, куда попадёт вторая частица, $k_2$. И так далее до $k_n$.

В случае $n=N=2$ возможно 4 исхода:
$k_1=1, \; k_2=1$
$k_1=1, \; k_2=2$
$k_1=2, \; k_2=1$
$k_1=2, \; k_2=2$
На мой взгляд, все они равновероятны. В половине случаев одна ячейка пуста, в другой половине обе непусты.