«Нечётночисленный» треугольник

[Ktina]

Существует ли треугольник, у которого длины всех сторон и всех высот есть нечётные целые числа?

[lel0lel]

В пифагоровых тройках всегда есть четное число. Поэтому в треугольники с двумя нечетными сторонами и нечетной высотой, которая проведена к третьей стороне, эта третья сторона (если она целая) обязательно будет четная , так как состоит из двух отрезков четной длины.

[Ktina]

lel0lel в сообщении #1235360 писал(а):

В пифагоровых тройках всегда есть четное число. Потому в треугольники с двумя нечетными сторонами и нечетной высотой, которая проведена к третьей стороне, эта третья сторона обязательно будет четная, так как состоит из двух отрезков четной длины.

lel0lel
А при чём здесь пифагоровы тройки? Разве в условии сказано, что треугольник обязан быть прямоугольным?

[lel0lel]

Высота приводит к появлению двух прямоугольных треугольников с нечетными гипотенузами и общим нечетным катетом.

[Ktina]

lel0lel
Упс
Спасибо большое!

(Оффтоп)

С каждым годом тупею и тупею...

-- 23.07.2017, 00:11 --

Э, стоп-машина! А кто сказал, что третья сторона внутреннего прямоугольного стреугольника должна быть целой? Сумма двух нецелых чисел может быть и целым числом!

[Andrey A]

Ktina в сообщении #1235358 писал(а):

Существует ли треугольник, у которого длины всех сторон и всех высот есть нечётные целые числа?

Дробная часть площади такого треугольника $s=ah/2$ равна $0,5$. А из формулы Герона - $0,25$ или $0,75$. Прямоугольные тр-ки не обязаны быть целочисленными.

[Ktina]

Andrey A
Вот теперь спасибо!

[lel0lel]

Ktina в сообщении #1235364 писал(а):

Э, стоп-машина! А кто сказал, что третья сторона внутреннего прямоугольного стреугольника должна быть целой?

Точно!) Вот видите, а говорите.. (все с точностью до наоборот). Это я поспешил. Но, кажется, ключ к разгадке близок. Если она не целая, значит иррациональная $\sqrt{x}$, в соседнем треугольнике аналогично $\sqrt{y}$, иначе длина целой не будет. Остается доказать, что $\sqrt{x}\pm\sqrt{y}$ не может быть натуральным числом.

[Andrey A]

Собственно, при нечетных сторонах $a,b,c$ и одной нечетной высоты быть не может. Пусть $h$ опущена на сторону $c.$ Тогда $\sqrt{a^2-h^2}+\sqrt{b^2-h^2}=c$ или $\sqrt{a^2-h^2}=c-\sqrt{b^2-h^2}$ или $a^2-h^2=c^2+b^2-h^2-2c\sqrt{b^2-h^2}$ или $b^2+c^2-a^2=2c\sqrt{b^2-h^2}$. Слева нечетное, справа четное. Значит все высоты четные. Тогда площадь целая, а из формулы Герона - дробная. Был ли мальчик?

P.S. С другой стороны, если одна высота рациональная, то и две других тоже. А треугольники всё-таки Пифагоровы или подобные им.

[Andrey A]

PS PS Свойство нечетности $h$ в последнем рассуждении никак не используется. Лишнего написал. То, что $h$ не может быть целым числом, видно сразу из сравнения дробных частей.