Как решить уравнения Максвелла для Витка с током

[Munin]

kda17 в сообщении #1234701 писал(а):

Цель - вручную осуществить этот вывод. Только вот предлагаемый математический аппарат пугает(

Пока он вас пугает, лучше этим не заниматься. А осваивать математику. Когда перестанет пугать - задача будет решена просто, как стандартное упражнение (если даже не в учебнике).

kda17 в сообщении #1234701 писал(а):

И при этом очень хотелось бы обойтись без векторных потенциалов

То есть, более сложным путём, когда есть более простой.

kda17 в сообщении #1234701 писал(а):

Только вот как теперь это преобразовать, чтобы можно было решить? (Диффуры решаю, правда с частными производными решал только примитивные.) И вообще к какому виду надо стараться прийти?

https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_разложения_Гельмгольца
читали?

Всё понимаете?

Начиная с какой строчки не понимаете?

[rustot]

kda17 в сообщении #1234701 писал(а):

И при этом очень хотелось бы обойтись без векторных потенциалов, поэтому, записываю эти уравнения так

Так я же и написал выше напрямую, без векторных потенциалов, через разложение Гельмгольца. Точнее потенциалы там все равно есть, но не выписаны отдельными величинами.

А как "напрямую" вы хотите считать, не используя вообще никаких математических теорем что ли? Я не представляю как тогда. Численно?

Вот есть такой математический фокус. Из $K = \nabla\vec{N}$ сложно найти "в лоб" $\vec{N} = f(K)$, зато вот для $K = \nabla(\nabla M)$ есть простая обратная функция $M = g(K)$. Тогда что мы делаем для нахождения $\vec{N}$ из K? Находим $M$ из $K$ и дифференцируем до $\vec{N}$. То есть при интегрировании прыгаем через ступеньку (в случае производных полей - промахиваясь мимо поля интегрируем до потенциалов), а потом возвращаемся обратно дифференцированием. Аналогичная операция есть и для ротора $\nabla\times$. Все это естественно, как любое интегрирование, "с точностью до константы", которой в данном случае является "любое поле с нулевой производной"

[kda17]

Munin писал(а):

https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_разложения_Гельмгольца
читали?

Всё понимаете?

Почитал, и связанные с ней статьи тоже. Понял, что векторный потенциал не абстракция, а имеет физический смысл.


Когда выполняем подстановку

$$\vec B = \nabla \times \vec A$$

в

$$\nabla \times \vec H = \vec j $$

мы полагаем дивергенцию векторного потенциала равной нулю (что приводит к уравнению Пуассона). Дивергенция равная нулю вроде бы подразумевает отсутствие источников и стоков поля. Что же может являться источником или стоком векторного потенциала?

Если правильно понял, то смысл векторного потенциала это импульс частицы с единичным зарядом - то есть это импульс, который был бы у частицы, если бы она находилась в данной точке?

[Ms-dos4]

kda17
1)Условие $\[\nabla \vec A = 0\]$ - просто поперечная калибровка. Очень подходит для магнитостатики, т.е. как раз ваш случай.
2)Всё, что вам нужно пока знать про векторный потенциал - это то, что это величина, определяемая как $\[[\nabla ,\vec A] = \vec H\]$. Про физ смысл поняли вы неверно. Тут дело в том, что обобщённый импульс (релятивистской частицы) оказывается равным

$$\[\frac{{\partial L}}{{\partial \vec v}} = \frac{{m\vec v}}{{\sqrt {1 - {v^2}} }} + e\vec A\]$$

Пока вы находитесь на уровне общей физики, знать этого вам не требуется (на самом деле, там открываются ещё большие "интересности" в квантах)

[Munin]

kda17 в сообщении #1234985 писал(а):

Когда выполняем подстановку

$$\vec B = \nabla \times \vec A$$

в

$$\nabla \times \vec H = \vec j $$

мы полагаем дивергенцию векторного потенциала равной нулю (что приводит к уравнению Пуассона).

На самом деле, нет. Мы берём векторный потенциал с точностью до слагаемого, обязанного существованию источникам и стокам. То есть, если $\vec{A}'=\vec{A}+\vec{\alpha},$ где слагаемое $\vec{\alpha}$ - потенциально, имеет нулевой ротор, то

$$\vec{B}=\operatorname{rot}\vec{A}'=\operatorname{rot}\vec{A}+\operatorname{rot}\vec{\alpha}=\operatorname{rot}\vec{A}=\vec{B},$$

то есть, от этого слагаемого физически наблюдаемый $\vec{B}$ не зависит. И его производные тоже, в том числе $\operatorname{rot}\vec{H}=\vec{\jmath}.$

И тогда мы вправе выбрать из всех таких возможных $\vec{A}'$ ровно один - такой, что его $\operatorname{div}\vec{A}'=0.$ Мы вправе это сделать, поскольку выбором разных $\vec{\alpha}$ можно задать произвольное значение $\operatorname{div}\vec{A}',$ и добавить его к исходному.

И таким образом, мы можем наплевать на вопрос об источниках и стоках векторного потенциала. Мы вправе считать, что их вообще нет. А находить векторный потенциал через функцию Грина "ньютоновский потенциал".

kda17 в сообщении #1234985 писал(а):

Если правильно понял, то смысл векторного потенциала это импульс частицы с единичным зарядом - то есть это импульс, который был бы у частицы, если бы она находилась в данной точке?

Не весь импульс, а полевая добавка к импульсу. Да.

-- 20.07.2017 23:16:12 --

Ms-dos4 в сообщении #1234995 писал(а):

Тут дело в том, что обобщённый импульс (релятивистской частицы) оказывается равным

$$\[\frac{{\partial L}}{{\partial \vec v}} = \frac{{m\vec v}}{{\sqrt {1 - {v^2}} }} + e\vec A\]$$

Для нерелятивистской частицы канонический импульс тоже получает полевую добавку. Если копаться хотя бы в теормеханике, это полезно знать. (И вообще знать лагранжианы с векторным потенциалом.)

[Ms-dos4]

Munin в сообщении #1234999 писал(а):

Для нерелятивистской частицы канонический импульс тоже получает полевую добавку. Если копаться хотя бы в теормеханике, это полезно знать. (И вообще знать лагранжианы с векторным потенциалом.)

Да, безусловно получает (я же не говорил, что нет). В той же формуле переходим к малым скоростям (да или ещё проще, начинать с лагранжиана $\[L = \frac{{m{v^2}}}{2} + \frac{e}{c}(\vec A,\vec v) - e\varphi \]$), и получим

$$\[\frac{{\partial L}}{{\partial \vec v}} = m\vec v + \frac{e}{c}\vec A\]$$

Ну, знать может и полезно, но зная нынешних студентов (увы, я уже имел практику преподавать, и у меня быстро отпало желание говорить что-то вне программы). Но это я к чему, к данной задаче это непосредственно отношения не имеет, пусть хоть с ней разберётся.

[kda17]

Таким образом задача решить уравнение $\nabla^2\vec A = -\vec j$, то есть

$$\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\vec A = -\vec j $$

(коэффициенты $\mu_0$, $\mu$, $4\pi$, $c$ не пишу - можно полагать, что они входят в функцию $\vec j$)
Ухожу от прямоугольной системы координат $x$, $y$ и $z$ к переменной $r$, при этом использую то, что

$$\frac{\partial^2}{\partial x^2} = \frac{1}{r}\left(1 - \frac{x^2}{r^2}\right)\frac{d}{dr} + \frac{x^2}{r^2}\cdot\frac{d^2}{dr^2}$$

и аналогично для $y$ и $z$. После подстановки получилось

$$\frac{d^2 \vec A}{dr^2} + \frac{2}{r}\cdot\frac{d\vec A}{dr} = -\vec j$$

Правильно получилось?
Далее, предполагаю, надо заменить $\frac{d\vec A}{dr} = \vec f$:

$$\frac{d \vec f}{dr} + \frac{2}{r}\vec f = -\vec j$$

И решить такое было бы не сложно, например заменой $f = uv$ (при этом получается $f = -\frac{1}{r^2}\int j r^2 dr$), если бы не вектора, ведь здесь не $f(r)$ и $j(r)$, а $\vec f (\vec r)$ и $\vec j (\vec r)$, или если рассматривать проекции, то, например, $f_x(\vec r)$ и $j_x(\vec r)$.

[Metford]

kda17 в сообщении #1235211 писал(а):

если бы не вектора

Ещё раз повторяю: компонента у вектора плотности тока всего одна. Это может навести на некоторые мысли.

[kda17]

не очень понятно, что Вы подразумеваете под компонентой

[Metford]

Откровенно говоря, хочется в ответ спросить, что Вы подразумеваете под вектором... У вектора в трёхмерном пространстве есть три компоненты (координаты, если угодно). Вот у вектора плотности тока в данном случае, скажем, в цилиндрических координатах только одна компонента. Которая $j_{\varphi}$. Только это и подразумеваю.

[Munin]

kda17 в сообщении #1235211 писал(а):

Ухожу от прямоугольной системы координат $x$, $y$ и $z$ к переменной $r$

Не-а, так не получится. Можно перейти только к переменным $r,\theta,\varphi$ или $r,\varphi,z.$ Но в любом случае, переменных должно остаться три.

Остальные переменные (кроме $r$) выпадают только в том случае, если у вас сферически-симметричная или цилиндрически-симметричная задача.

(Можно ещё поискать более экзотические системы координат, типа эллипсоидальных. Они могут быть более пригодны для задачи витка с током.)