Румяное уравнение в натуральных числах

[Ktina]

Доказать, что уравнение

$$n^3-m^{2016}=2017m^{2017}$$

имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

[atlakatl]

$n^3=(2017m+1)m^{2016}$

$n=\sqrt[3]{2017m+1} \cdot m^{672}$

Осталось доказать, что m, пробегая натуральный ряд с шагом 2017, - арифметическая прогрессия - бесконечно попадает на точные кубы.
Чую, что есть конструктивный способ явно указать такие m, но ничего не придумал.

[ET]

$(2017k+1)^3$

[atlakatl]

ET в сообщении #1234507 писал(а):

$(2017k+1)^3$

Это m? При $k=1$ имеем:
$2017 \cdot 2018^3+1=16575604811145$. Кубический корень равен $25497,04$.

[wrest]

atlakatl в сообщении #1234513 писал(а):

Это m?

Не, это $n$

$n^3=(2017k+1)^3=(2017k+1)(2017^2k^2+2\cdot 2017k +1)$
$\dfrac{n^3}{2017m+1}=\dfrac{(2017k+1)(2017^2k^2+2\cdot 2017k +1)}{2017m+1}$
При $k=m$ делится нацело
Но не только.
Еще есть две последовательности $n$
$n=294+2017k$ и $n=1722+2017k$

[ET]

atlakatl в сообщении #1234513 писал(а):

ET в сообщении #1234507 писал(а):

$(2017k+1)^3$

Это m?

Нет, это $2017m+1$

[atlakatl]

wrest
ET
$(2017k+1)^3=(2017m+1)m^{2016}$
$(2017k+1)^2=m^{2016}$
$(2017k+1)=m^{1008}$
Что дальше? Я хочу явно увидеть значения m и n.

[ET]

atlakatl
оххх...
$(2017k+1)^3=2017m+1$
$2017^3k^3+3\cdot2017^2k^2+3\cdot2017k+1 =2017m+1$
$2017^3k^3+3\cdot2017^2k^2+3\cdot2017k =2017m$
$m=2017^2k^3+3\cdot2017k^2+3k$

[wrest]

А так же.
$(2017k+294)^3=2017m+1$
$2017^3k^3+3\cdot 294\cdot 2017^2k^2+3\cdot 294^2\cdot 2017k+294^3=2017m+1$
$294^3-1=2017 \cdot 12599$
$2017^3k^3+3\cdot 294\cdot 2017^2k^2+3\cdot 294^2\cdot 2017k+2017 \cdot 12599=2017m$
$m=2017^2k^3+3\cdot 294\cdot 2017k^2+3\cdot 294^2\cdot k+12599$
И аналогично с
$(2017k+1722)^3=2017m+1$
где $1722^3-1=2017 \cdot 2531591$

[atlakatl]

wrest
ET
Спасибо.