Банановая кожура

[Singular]

Как правило, все выкладки простейших действий делаются "на лету", не задумываясь о деталях:
столкнулся с ситуацией, $a$ - вещественное отрицательное, тогда $\sqrt{(a)^3}=\sqrt{-|a|^3}=i\sqrt{|a|^3}$, но с другой стороны $\left(\sqrt{a}\right)^3=\left(\sqrt{-|a|}\right)^3=\left(i\sqrt{|a|}\right)^3=-i\left(\sqrt{|a|}\right)^3$. Разница в знаке.

Интуитивно корень берётся со знаком $+$, а не $\pm$, но вот пока дошёл до этой ошибки, пришлось переворошить кучу черновых заметок Проблема простейшая, собственно и решение понятно, но вдруг кто-то также "подскользнётся на банановой кожуре"...

[madschumacher]

Представляете Ваше число под корнем, и результат в виде $q = |q|\exp(i\varphi) \ , \ |q|, \varphi \in \mathbb{R}$, и все проблемы уходят.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Свободный полёт» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Someone]

Singular в сообщении #1234440 писал(а):

Интуитивно корень берётся со знаком $+$, а не $\pm$

Вы не правы. Есть определение арифметического квадратного корня из неотрицательного действительного числа. Согласно этому определению, если $a\geqslant 0$, то $\sqrt{a}\geqslant 0$, а если $a<0$, то $\sqrt{a}$ не определён.

Если же мы расширяем определение квадратного корня, выходя в область комплексных чисел, то лишаемся неравенств. Например, мы не можем написать неравенства $i>0$ или $i<0$. Поэтому мы не можем выбрать одно каноническое значений из двух возможных значений квадратного корня, если он оказывается комплексным. И если Вы делаете преобразования двумя разными способами, то запросто можете получить результаты, которые выглядят по-разному. Просто нужно помнить, что в комплексной области $\sqrt[n]{a}$ при $a\neq 0$ имеет $n$ различных значений, из которых ни одно не является "более каноническим", чем остальные.

[Singular]

Вы абсолютно правы, тут даже не может быть места дискуссии. Изначально мой посыл был такой, что при решении какой-то "сложной" задачи, на "мелкие" вопросы, как правило, не обращаешь внимание и можешь попасть впросак...