Иррациональное в иррациональной степени

[пианист]

Просто рассуждение, случайно попалось. Показалось забавным. Дилемма.
Существуют такие иррациональные числа $a$ и $b$, что $a^b$ рационально.
Доказательство. Рассмотрим $\sqrt2 ^ \sqrt2$. Если данное число рационально, все доказано.
Иначе обращаем внимание, что $({\sqrt2 ^ \sqrt2})^{\sqrt2} $ $ = \sqrt2 ^ {(\sqrt2 \sqrt2)} = \sqrt2 ^{2} $ $= 2$ рационально, и также все доказано.

Извиняюсь, если уже было.

[Sender]

Или вот $e^\ln 2$.

[Mikhail_K]

Sender, доказательство Пианиста интересно своей неконструктивностью. Мы доказали существование иррациональных $a$ и $b$ с требуемым свойством, но не привели примера: осталось неясным, то ли подходят $a=\sqrt{2}$, $b=\sqrt{2}$ (на самом деле нет), то ли подходят $a=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$, $b=\sqrt{2}$ (на самом деле да, но из доказательства это не видно).

См. статью "Конструктивное доказательство" в Википедии.

[12d3]

Обсуждалось как минимум тут.