число различных произведений частей-1 разбиений числа n

[maxal]

Разбиение $q$ положительного целого числа $n$ представляет собой набор положительных целых чисел $q_1\geq q_2\geq \dots\geq q_k$, которые в сумме дают $n$:

$$n=q_1 + q_2 + \dots +q_k.$$

Длиной разбиения называется число $\ell(q)=k.$

Докажите, что число различных ненулевых значений произведения вида:

$$\prod_{i=1}^{\ell(q)} (q_i - 1),$$

где $q$ пробегает разбиения числа $n,$ равно числу разбиений $n$ на слагамые вида: 2, 5 и $p+1$, где $p$ - простые числа, $p\ne 11$.

Добавлено спустя 8 минут 40 секунд:

Другими словами, нужно доказать, что производящая функция величин:

$$a_n = \left|\left\{ \prod\limits_{i=1}^{\ell(q)} (q_i - 1)\ :\ q\ -\ \text{разбиение}\ n\right\}\setminus\{0\}\right|$$

есть ни что иное как:

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n =\frac{1-x^{12}}{(1-x^2)(1-x^5)\prod\limits_{p\ \text{простое}} (1-x^{p+1})}.$$

[Kid Kool]

Пусть n = 5. Тогда произведение может принимать 2 ненулевых значения (2 и 4), в то время как число указанных разбиений n равно 3: n = 5 = 2+3 = 3+2.

[maxal]

Kid Kool, в разбиениях (в отличие, например, от композиций) порядок слагаемых неважен, поэтому 2+3 и 3+2 - это одно и то же разбиение.

[Kid Kool]

У Вас в первоначальном варианте было не так:

maxal писал(а):

Разбиение $q$ положительного целого числа $n$ представляет собой набор положительных целых чисел $q_1\geq q_2\geq \dots\geq q_k$, которые в сумме дают $n$

а вот так:

maxal писал(а):

Разбиение $q$ положительного целого числа $n$ представляет собой упорядоченный набор положительных целых чисел $(q_1,q_2,\dots,q_k)$, которые в сумме дают $n$

[maxal]

Kid Kool, и что с того? Ну описался - вместо "неупорядоченный" написал "упорядоченный", бывает. Сейчас исправил так, чтобы вообще никаких разночтений быть не могло.

[maxal]

Видимо, пора публиковать решение.

$a_n+1$ - это последовательность A139807. Там приведено мое доказательство обсуждаемой формулы.