Хитроумная рулетка

[lel0lel]

В казино есть рулетка (автомат), которая выдает либо красное, либо черное. Крупье нам пошептал на ухо, что в случае выигрыша распределение вероятности изменяется так, что некая (всегда одинаковая) доля вероятности выигравшего цвета переходит к другому цвету, но назвать какая доля не смог -- сказал, что сам не знает. Как узнать какая эта доля (оценить с любой* наперед заданной точностью), если:
a) мы можем целый день тестировать этот автомат бесплатно;
б) целый день наблюдать за игрой одного богача, который придерживается стратегии -- "что выпадает на то и ставлю".
* Достижимой за день измерений.

[mihaild]

А в чем разница между а) и б)?

Верно ли, что рулетка работает так: есть вероятность красного $p$ и черного $1 - p$, изначально $p = \frac{1}{2}$. Если выпадает красное, то вероятность красного становится $p \cdot q$, если черное - то вероятность черного становится $(1 - p)q$? ($q \leqslant 1$)

UPD: я не умею читать.

[EUgeneUS]

lel0lel
А что происходит в случае проигрыша? Вероятности "сбрасываются" в 50:50 или остаются "перекошенными" с последнего выигрыша?

[lel0lel]

mihaild в сообщении #1233120 писал(а):

А в чем разница между а) и б)?

В a) мы можем сами выбирать стратегию на что ставить, в б) такой роскоши нет.

Рулетка меняет вероятности выпадения цветов только в случае нашего выигрыша в последней партии.

mihaild в сообщении #1233120 писал(а):

рулетка работает так: есть вероятность красного $p$ и черного $1 - p$

Если ставим на красное и выигрываем, то вероятность красного становится $pq$, черного $1-pq$. Если проигрываем, то вероятности остаются неизменными.
P.S. Оставлю этот пост, он конкретизирует задачу.

[maxal]

В случае a) ставим все время на красное.
Запишем последовательность выпадений цветов (red, black) в виде

$$rb^{n_1}rb^{n_2}rb^{n_3}r\dots$$

(где $n_i$ - количества выпадений чёрного между двумя красными).
Если в момент первого выпадения первого $r$ вероятность красного была $p$, то потом она становится $pq$ и нам следует ожидать, что

$$n_1 \approx 0\cdot pq + 1\cdot (1-pq)pq + 2\cdot (1-pq)^2pq\dots = \frac{1-pq}{pq}$$

Аналогично, $n_k \approx \frac{1-pq^k}{pq^k}$.
Соответственно, параметр $q$ может быть оценен как $\frac{n_{k}+1}{n_{k+1}+1}$, причём чем больше $k$, тем точнее. Остается только запастись терпением и сгенерировать как можно более длинную последовательность чисел $n_1,n_2,\dots$.

-- Wed Jul 12, 2017 14:34:08 --

В случае б) вероятность меняется в случае выпадания двух одинаковых цветов подряд (т.е. $bb$ или $rr$). Соответственно, идея такая же - только считать нужно пары $br$ и $rb$ между парами $bb$ или $rr$.

[lel0lel]

maxal, все верно.
P.S. Второй случай правда содержит такую трудность: количество вращений рулетки между двумя сменами вероятностей не обязательно будет увеличиваться. Это затруднит получение хорошей оценки $q$. Видимо, это лечится усреднением большого числа независимых оценок, полученных из выборки.